數(shù)學(xué)內(nèi)外

Inside and Outside of Mathematics

田 剛

大家好！今天的講座是今年中國數(shù)學(xué)會主辦的第一個(gè)面向公眾的在線講座。今天是母親節(jié)，在此也向天下所有偉大的母親致以節(jié)日的祝福！我的母親也是一位數(shù)學(xué)家，她是我數(shù)學(xué)的第一位啟蒙老師，我講座的題目是數(shù)學(xué)內(nèi)外，這個(gè)題目的靈感也是來自于我的母親。在很小的時(shí)候她告訴我，數(shù)學(xué)可以有很多角度去認(rèn)識它。我們知道在數(shù)學(xué)專業(yè)研究領(lǐng)域之外的人，與進(jìn)入到數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域的人，所獲得的體會和感受是不一樣的。下面讓我們從各個(gè)不同的角度一起了解數(shù)學(xué)內(nèi)外的奧秘。

在我國古代，數(shù)學(xué)叫作算術(shù)，是六藝之一。六藝指六種技能：禮、樂、射、御、書、數(shù)，其中的“數(shù)”就是指算術(shù)，也就是數(shù)學(xué)。六藝源自于中國周朝的貴族教育體系，周王官學(xué)要求學(xué)生掌握的六種基本才能。有點(diǎn)像我們今天高考一樣，即使是文科考生，也要考數(shù)學(xué)，學(xué)數(shù)學(xué)的也需考語文。

在我國古代，數(shù)學(xué)叫作算術(shù)

大家知道古希臘是西方文明的源頭之一，是西方文明最重要和直接的淵源。西方有記載的文學(xué)、科技、藝術(shù)大都是從古代希臘開始的。當(dāng)然古希臘不是一個(gè)國家的概念，而是一個(gè)地區(qū)的稱謂。數(shù)學(xué)在古希臘語有學(xué)習(xí)、學(xué)問、科學(xué)之意，被認(rèn)為是“學(xué)問的基礎(chǔ)”。

數(shù)學(xué)在古希臘語有學(xué)習(xí)、學(xué)問、科學(xué)之意

古希臘數(shù)學(xué)家普洛克拉斯說：“哪里有數(shù)學(xué)，哪里就有美?！睌?shù)字不僅可以展現(xiàn)美，它還可以量化世間萬物，讓事物變得更有趣。我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生說過：“就數(shù)學(xué)本身而言，是壯麗多彩、千姿百態(tài)、引人入勝的…認(rèn)為數(shù)學(xué)枯燥乏味的人，只是看到了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，而沒有體會出數(shù)學(xué)的內(nèi)在美！”數(shù)學(xué)美是自然美的客觀反映，是科學(xué)美（內(nèi)在美）的核心，也體現(xiàn)在藝術(shù)等美中。

比如，自然界中的花朵。大家春天都喜歡踏青賞花，在花朵上也能找到數(shù)學(xué)的影子。比如三角梅有3片花瓣，銀蓮花有5片花瓣。圖片上這朵向日葵，呈現(xiàn)出斐波那契數(shù)列，斐波那契數(shù)列是從第3項(xiàng)開始，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和。這朵向日葵有21個(gè)深藍(lán)色螺旋和13個(gè)寶石綠螺旋。13和21是斐波那契數(shù)列中的相鄰數(shù)字。仿佛花朵也有“數(shù)學(xué)頭腦”。

建筑中也有數(shù)學(xué)。下圖是謝克洛弗拉清真寺房頂，建于17世紀(jì)的伊朗伊斯法韓，使用了雙螺旋圖案。它建于1602至1619年阿巴斯一世統(tǒng)治時(shí)期，建造工程歷時(shí)長達(dá)17年，用于獻(xiàn)給阿巴斯的岳父Sheikh Lotfollah，這個(gè)清真寺也用岳父的名字命名，Sheikh Lotfollah是一位受人尊敬的黎巴嫩伊斯蘭教學(xué)者，應(yīng)邀來到伊斯法罕監(jiān)管國王的清真寺和神學(xué)院。從高高的窗格射進(jìn)來的光線會隨著陽光的角度不斷變化，甚至穹頂上用到的白色瓷磚據(jù)說也會在一天里由白色變成粉紅，真是非常奇妙。另外，為了保證信徒朝拜的方向?qū)χサ佧溂樱O(shè)計(jì)清真寺時(shí)需要經(jīng)過嚴(yán)密的數(shù)學(xué)計(jì)算。

建于17世紀(jì)的伊朗伊斯法韓謝科洛夫拉清真寺的房頂

新石器時(shí)代的陶罐

差不多同期，在公元前3000年，埃及人就有方形棱錐的錐臺體積的正確公式。大家熟知的埃及金字塔就是對稱、比例精確的三角形。金字塔是由無數(shù)裁切準(zhǔn)確的巨大石塊組成的帝王陵墓，當(dāng)時(shí)的人們把金字塔有條不紊地安置在規(guī)矩的空間中，呈現(xiàn)出高度秩序。

古巴比倫與中國、古埃及、古印度一并稱為“四大文明古國”。圖片中所示的是古巴比倫伊什塔爾城門。這是德國考古學(xué)家在發(fā)現(xiàn)巴比倫古城時(shí)發(fā)掘，之后帶回了柏林的博物館。

德國佩加蒙博物館伊什塔爾城門

古巴比倫時(shí)期的數(shù)學(xué)很發(fā)達(dá)，計(jì)數(shù)法采用的是十進(jìn)位和六十進(jìn)位法。釘頭型代表1，尖頭型代表10，通過加法這兩個(gè)符號可以表示直到59，比如32由3個(gè)尖頭型和2個(gè)釘頭型構(gòu)成。從60開始使用符號組，記錄60的符號也是由之前的符號構(gòu)成，比如數(shù)字145由2個(gè)60構(gòu)成120，再加25個(gè)單位。六十進(jìn)位法應(yīng)用于計(jì)算周天的度數(shù)和計(jì)時(shí)，至今為全世界所沿襲。在代數(shù)領(lǐng)域，古巴比倫人已經(jīng)可解含有三個(gè)未知數(shù)的方程式。另外，古巴比倫人還有一個(gè)三角函數(shù)表。

古巴比倫計(jì)數(shù)法

數(shù)學(xué)經(jīng)過初期的發(fā)展后，不再局限于田間地頭、修筑工程等與農(nóng)業(yè)生產(chǎn)等息息相關(guān)的技術(shù)，而是逐漸形成了一門研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化、空間等概念的學(xué)科。數(shù)學(xué)形成學(xué)科之后，越發(fā)突顯這樣的幾個(gè)特點(diǎn)：數(shù)學(xué)的指向是現(xiàn)象背后的客觀規(guī)律，它是抽象的，嚴(yán)密的邏輯是其基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)追求的是抽象美和終極真理。它邏輯性強(qiáng)并以興趣和好奇心為首要驅(qū)動。數(shù)學(xué)非常純粹，它的正確與否不因人的意志而改變。

世界上比較早地用嚴(yán)密邏輯探討世界本源的發(fā)端之一是意大利半島的古希臘。柏拉圖學(xué)園門口掛著“不懂幾何者，不得入內(nèi)?！碑?dāng)時(shí)的幾何，即是指數(shù)學(xué)。下圖是意大利著名畫家拉斐爾的《雅典學(xué)園》取材于公元前4世紀(jì)古希臘哲學(xué)家柏拉圖舉辦柏拉圖學(xué)園的故事，整幅畫洋溢著濃厚的學(xué)術(shù)氛圍。在畫中，兩位古代偉大的數(shù)學(xué)家被畫家安排在很顯著的位置。左邊方框中的中心人物是古希臘數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯，右邊是編撰《幾何原本》的古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得。

拉斐爾，《雅典學(xué)園》

歐幾里得生活于約公元前330年到公元前275年之間，被稱為“幾何之父”，歐幾里得幾何學(xué)成為用公理化方法建立起來的數(shù)學(xué)演繹體系的最早典范。在之后的2000多年間，這一嚴(yán)格的思維形式， 不僅用于數(shù)學(xué)，也用于其他科學(xué)，甚至用于神學(xué)、哲學(xué)和倫理學(xué)中，產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。

這里我們要特別提到一位著名的女?dāng)?shù)學(xué)家希帕提婭。她出生在埃及亞歷山大里亞城，是世界上有記載的第一位女?dāng)?shù)學(xué)家。也另有說法，在希帕提婭之前其實(shí)也有不少女性從事數(shù)學(xué)研究，但她們的作品沒有流傳下來。希帕提婭的父親賽翁（Theon）是有名的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家，希帕提婭協(xié)助父親完成幾何原本的現(xiàn)在版本，這位聰慧的女性以她的才華和貢獻(xiàn)躋身于古代世界最優(yōu)秀的學(xué)者之列。公元415年她慘死于暴徒手下。希帕提婭雖去世一千五百多年了，但她的科學(xué)精神鼓舞了一代又一代的青年人，尤其是女士們從事數(shù)學(xué)研究。今天女?dāng)?shù)學(xué)家的比例越來越高，如在世界一流大學(xué)工作的華裔女?dāng)?shù)學(xué)家就有許多。

古希臘著名數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家希帕提婭

文獻(xiàn)中普遍認(rèn)為：歐幾里得是在公元前300年左右完成了《幾何原本》一書。全書分13卷。有5條“公理”或“公設(shè)”、23個(gè)定義和467個(gè)命題。歐幾里得由公理,公設(shè)和定義出發(fā)，嚴(yán)格推導(dǎo)出命題。他嚴(yán)格論證了畢達(dá)哥拉斯定理，即“勾股定理”，從而確定了勾股定理的正確性。

遠(yuǎn)在公元前約三千年的古巴比倫人就知道和應(yīng)用勾股定理，還知道許多勾股數(shù)組。古埃及人也應(yīng)用過勾股定理。在中國，西周早期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。勾股定理等價(jià)于證明：在一直角三角形中，斜邊上的正方形的面積等于兩條直角邊上的兩個(gè)正方形的面積之和。

趙爽是我國數(shù)學(xué)家，他是東漢末至三國時(shí)代吳國人。趙爽為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)，解釋了《周髀算經(jīng)》中勾股定理，并給出了證明：“按弦圖，又可以勾股相乘為朱實(shí)二，倍之為朱實(shí)四，以勾股之差自相乘為中黃實(shí)，加差實(shí)，亦成弦實(shí)?！?span> 2002年國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)的靈感就來源于此，這個(gè)標(biāo)志現(xiàn)在也是中國數(shù)學(xué)會的標(biāo)志。

趙爽弦圖

中國數(shù)學(xué)會的標(biāo)志

古希臘數(shù)學(xué)家泰阿泰德發(fā)現(xiàn)只存在5種正多面體，不存在第6種。這一結(jié)果的證明最早也是出現(xiàn)在歐幾里得的《幾何原本》中。柏拉圖的宇宙觀基本上是一種數(shù)學(xué)的宇宙觀。他設(shè)想宇宙開頭有兩種直角三角形，一種是正方形的一半，另一種是等邊三角形的一半。從這些三角形就合理地產(chǎn)生出四種正多面體，組成四種元素。火是正四面體，氣是正八面體，水是正二十面體，土是立方體。第五種正多面體是由正五邊形形成的十二面體，這是組成天上物質(zhì)的第五種元素，叫做以太。5種正多面體被稱為“柏拉圖立體”。可見被授予光環(huán)的也不一定是原本的發(fā)現(xiàn)者。

5種正多面體

仔細(xì)觀察，城市中很多球形建筑上都有12個(gè)特殊的點(diǎn)，比如位于北京奧森公園附近的中國科技館，這些球形建筑上的12個(gè)特殊點(diǎn)每個(gè)點(diǎn)由5個(gè)三角形組成，這是多面體幾何性質(zhì)約束的結(jié)果。大家有興趣可以去現(xiàn)場找找這12個(gè)特殊點(diǎn)。其實(shí)，在兩千多年前古希臘數(shù)學(xué)家已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了這一特點(diǎn)。

中國科技館

大型球狀建筑物，類似于將正二十面體每個(gè)三角形切分成4個(gè)三角形，然后將每一個(gè)新的三角形再同樣切分，依次切分下去，得到若干小三角形側(cè)面，將它們“吹鼓”起來變成類球體形狀。之前提到的中國科技館球狀建筑就是這樣，由成千上萬塊小三角形拼成，球體表面的12個(gè)特殊的點(diǎn)就是原本正二十面體的12個(gè)頂點(diǎn)。在生活中，我們還可以看到類似的物品，比如足球其實(shí)是截去頂點(diǎn)并稍加吹鼓起來的正二十面體。

歐幾里得《幾何原本》中還有關(guān)于數(shù)論的結(jié)果：有無窮多個(gè)素?cái)?shù)。素?cái)?shù)是只能被1和自己整除的正整數(shù)， 如2，3，5，7，11，13……任何整數(shù)都可以分解成素?cái)?shù)的乘積，所以素?cái)?shù)被認(rèn)為是數(shù)的“原子”。數(shù)論是數(shù)學(xué)的核心分支之一，研究素?cái)?shù)是一個(gè)重要部分，許多著名猜想都與素?cái)?shù)有關(guān)，如被譽(yù)為“皇冠上的明珠”的哥德巴赫猜想：任一大于2的偶數(shù)都可寫成兩個(gè)素?cái)?shù)之和。至今最好的結(jié)果是1966年陳景潤先生證明的。還有有關(guān)黎曼ζ函數(shù)的零點(diǎn)分布著名的黎曼猜想。素?cái)?shù)理論被用于信息安全技術(shù)，有無窮多個(gè)素?cái)?shù)是現(xiàn)代信息安全技術(shù)的基礎(chǔ)。

素?cái)?shù)不僅有無窮多個(gè)，我們還能描述它的分布，素?cái)?shù)定理就是其中一個(gè)描述。素?cái)?shù)定理（Prime Number Theorem）敘述如下：

設(shè)x≥1，以π(x)表示不超過x的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)，則當(dāng)x趨于無窮時(shí)，

π(x)～x/ln(x)。

1896年，阿達(dá)馬和德·拉·瓦萊布桑（Charles-Jean de la Vallée Poussin）各自獨(dú)立地證明了素?cái)?shù)定理。1949年，塞爾伯格和埃爾德什（Paul Erd?s）分別獨(dú)立地給出了素?cái)?shù)定理的完全“初等”的證明，這是塞爾伯格獲得菲爾茨獎的一個(gè)重要工作。由素?cái)?shù)定理，我們可以估計(jì)素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)，如果x是1億，素?cái)?shù)有300多萬個(gè)。如果x是100億，素?cái)?shù)有3億多個(gè)。我們還可求π(x)的漸進(jìn)展開公式，第二個(gè)本質(zhì)項(xiàng)的冪次大小與黎曼猜想緊密相關(guān)。

素?cái)?shù)理論在好萊塢電影中也出現(xiàn)。獲奧斯卡獎的好萊塢科幻電影《超時(shí)空接觸》中就有素?cái)?shù)理論的應(yīng)用。女主人公利用素?cái)?shù)的數(shù)學(xué)理論破譯了來自外太空的密碼，這些密碼是生產(chǎn)時(shí)空機(jī)器的圖紙和說明。時(shí)空機(jī)器制造出來后，女主人公成為人類首位與外星生命接觸的使者，飛越宇宙，與外太空的生命進(jìn)行理智的接觸。

好萊塢科幻電影《超時(shí)空接觸》海報(bào)

數(shù)學(xué)結(jié)論最基本的要求是“正確”，無論多么顯然的結(jié)論，都需要從已知的確定結(jié)論通過正確的推理得出。這成為數(shù)學(xué)最顯著的特征。幾何原本提出五大公設(shè),其中第五公設(shè)相比前四個(gè)公設(shè)不那么顯而易見。那么，第五公設(shè)能否作為公設(shè)，而作為定理？循著這條路線望去，這就是最著名的、爭論了長達(dá)兩千多年的關(guān)于“平行線理論”的討論。由此產(chǎn)生了很多意想不到的、具有重要價(jià)值和意義的研究成果。

在1830年左右，俄國羅巴切夫斯基，匈牙利雅諾什發(fā)現(xiàn)了第五公設(shè)不可證明，創(chuàng)立了非歐幾何學(xué)。雅諾什在研究非歐幾何學(xué)的過程中也遭到了家庭社會的冷漠對待，他的父親——數(shù)學(xué)家鮑耶·法爾卡什勸他放棄。高斯也發(fā)現(xiàn)第五公設(shè)不能證明，并且研究了非歐幾何。但是高斯害怕這種理論會遭到教會力量的打擊，不敢公開發(fā)表?？梢娞剿髡胬淼牡缆凡⒉皇且环L(fēng)順的，是非常艱苦的，需要持之以恒的努力和堅(jiān)定的信念。

雙曲幾何中有四種常用模型，龐加萊圓盤模型是其中一種，如下圖所示，有無窮多條線通過一個(gè)給定的點(diǎn)且平行于一條給定的線。

龐加萊圓盤

著名數(shù)學(xué)家黎曼1851年創(chuàng)立黎曼幾何，引進(jìn)了流形和度量的概念，證明曲率是度量的唯一內(nèi)涵不變量，具有劃時(shí)代的意義。從歐幾里得的第五條公設(shè)引發(fā)的關(guān)注和思考，產(chǎn)生了非歐幾何諸多重要的研究方向，這些研究都并是不以“有用” 作為研究原點(diǎn)的，但是最終證明是非常有價(jià)值的。1915年，愛因斯坦創(chuàng)立了新的引力理論——廣義相對論，黎曼幾何成為其重要工具。

黎曼像

數(shù)學(xué)研究的最初目的往往不是為了功利，最后卻獲得特別的效果和重要的應(yīng)用。數(shù)學(xué)是不以“有用”為研究的原點(diǎn)，也就是說數(shù)學(xué)本身是非常純粹的。好的數(shù)學(xué)并不是僅僅屈從于某個(gè)具體的目的，但是一旦取得了數(shù)學(xué)中思維的突破，實(shí)際上它卻又是極為“有用”的。所以我一直都認(rèn)為數(shù)學(xué)是不以“有用”為研究的原點(diǎn)，實(shí)際上卻又是極為有用的學(xué)科，事實(shí)上，數(shù)學(xué)無處不在。下面我們一起具體來看。

數(shù)學(xué)的簡潔性是人類思想表達(dá)經(jīng)濟(jì)化要求的反映，它同樣給人以美感，給人很純粹的感覺。愛因斯坦說過：“美在本質(zhì)上終究是簡單性?！北热鐨W拉公式，無法說清楚有多少凸多面體，但它們都必須服從歐拉公式，且由此可推出只存在5種正多面體。

多面體的歐拉公式實(shí)際是歐拉示性數(shù)的特別情形，這是一個(gè)拓樸不變量。上世紀(jì)40-60年代，示性數(shù)理論得到進(jìn)一步發(fā)展， 引進(jìn)了陳數(shù)、龐特里亞金數(shù)，證明了Gauss-Bonnet-Chern定理，指標(biāo)定理。 這些新理論與物理中規(guī)范場論有緊密聯(lián)系。在凝聚態(tài)物理中, 量子霍爾效應(yīng)的拓?fù)湫蚩捎檬拘詳?shù)描述。

Gauss-Bonnet-Chern定理

2016年諾貝爾物理學(xué)獎頒發(fā)給三位從事拓?fù)湎嘧兒屯負(fù)湮镔|(zhì)形態(tài)研究的學(xué)者。拓?fù)涫菐缀螌W(xué)發(fā)展而衍生的一個(gè)核心數(shù)學(xué)領(lǐng)域，研究幾何體在連續(xù)形變中所不改變的性質(zhì)。拓?fù)湮镔|(zhì)形態(tài)用拓?fù)涫拘詳?shù)，比如“陳數(shù)”，來刻畫新的物質(zhì)形態(tài)。拓?fù)湎噙€存在于三維材料中。這些拓?fù)洳牧嫌型谛乱淮娮悠骷统瑢?dǎo)體中產(chǎn)生應(yīng)用，以及在未來量子計(jì)算機(jī)方面有應(yīng)用。

對稱性是數(shù)學(xué)美的一個(gè)基本內(nèi)容。中國的建筑就很好的應(yīng)用了數(shù)學(xué)的對稱美，比如故宮在北京中軸線中心上，彰顯著皇權(quán)的至高無上。走進(jìn)皇城每件東西也都很講究對稱。橫九路、豎九路，共是九九八十一個(gè)。對于我們中國人而言，九，是陽數(shù)之極，象征帝王最高的地位。甚至連圍墻，都被精心計(jì)算好了角度。天壇也是這樣，有很多對稱的元素。

天壇包含了對稱性元素

用形狀、大小完全相同的幾種或幾十種平面圖形進(jìn)行拼接，彼此之間不留空隙、不重疊地鋪成一片，這就是平面圖形的密鋪。除正三角形、正四邊形和正六邊形外，其他正多邊形，如正五邊形，都不可以密鋪平面。但有的五邊形可以密鋪平面，下圖列出了15種早已熟知的五邊形密鋪。第16種可密鋪五邊形是2015年由美國數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)的。

密鋪在建筑中也常見到。西班牙格拉納達(dá)紅宮是伊斯蘭世界在西班牙留下的輝煌古跡。阿拉伯的工匠們在幾何圖案的設(shè)計(jì)中展現(xiàn)出了令人嘆為觀止的創(chuàng)造力。大家可以看到，紅宮的建筑紋飾是各種幾何圖形的對稱、旋轉(zhuǎn)、平移。目前存在只存在17種類型的幾何密鋪，我們在紅宮都可以找到。

西班牙格拉納達(dá)紅宮及其部分建筑文飾

數(shù)學(xué)的深刻性是毋庸置疑的，數(shù)學(xué)中最漂亮的部分常聯(lián)系著不同的分支，揭示特定的本質(zhì)。比如勾股定理告訴我們：a2+b2=c2

著名的費(fèi)馬大定理就是記錄在Arithmetica的1621年版的書中 ：如果n  > 2,  則aⁿ + bⁿ = cⁿ 沒有非零整數(shù)解。費(fèi)馬聲稱自己有一個(gè)“絕妙的證法”，當(dāng)然他沒有寫下來。

費(fèi)馬猜想的證明有很長的歷史，期間經(jīng)歷了幾次重大突破，這個(gè)問題最終在1994年被懷爾斯證明，他也因此拿到了為他特別制作的菲爾茲銀質(zhì)獎?wù)?。懷爾斯的證明用到了大量現(xiàn)代的數(shù)學(xué)工具和技巧，他的證明揭示了橢圓曲線和數(shù)論之間的深刻聯(lián)系。

英國著名數(shù)學(xué)家、牛津大學(xué)教授Andrew Wiles

Fermat大定理的證明正是基于橢圓曲線的理論。近年來，利用橢圓曲線的密碼系統(tǒng)越來越受到重視。橢圓曲線在密碼學(xué)中的使用是在1985年由N.Koblitz和V.Miller分別獨(dú)立提出的。實(shí)際上，密碼學(xué)已經(jīng)廣泛應(yīng)用在我們?nèi)粘Ｉ钪?，如銀行密碼、電子商務(wù)等。它使用了大量的數(shù)學(xué)工具。在電子商務(wù)中，經(jīng)典的RSA算法被廣泛使用。RSA算法是由MIT研究人員Rivest, Shamir和Adleman在1978年公開推廣的，其基本原理是因?yàn)樗財(cái)?shù)分解的困難。而橢圓曲線密碼的安全性遠(yuǎn)高于用素?cái)?shù)分解的RSA算法。

橢圓曲線就是三次代數(shù)曲線，即復(fù)平面上三次代數(shù)多項(xiàng)式的零點(diǎn)集，如 y^2=x^3 +1,  y^2=5 x^3–7 等。研究一般多項(xiàng)式零點(diǎn)集的幾何稱為代數(shù)幾何。

數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性可表現(xiàn)為數(shù)學(xué)概念、規(guī)律、方法的統(tǒng)一, 數(shù)學(xué)理論的統(tǒng)一, 數(shù)學(xué)和其他科學(xué)的統(tǒng)一。1904年，著名法國數(shù)學(xué)家亨利·龐加萊（1854-1912年）提出了一個(gè)拓?fù)鋵W(xué)的猜想：“任何一個(gè)單連通的，閉的三維流形一定同胚于一個(gè)三維的球面?！币粋€(gè)閉的三維流形就是一個(gè)有界無邊的三維空間；單連通指這個(gè)空間中每條閉曲線都可以連續(xù)的收縮成一點(diǎn)。因此龐加萊猜想可以通俗的說成：任何一個(gè)滿足這樣性質(zhì)的三維空間，它“本質(zhì)上”是一個(gè)三維的球。這個(gè)猜想可以被推廣到三維以上空間，被稱為“高維龐加萊猜想”。

法國郵票上的龐加萊像

多年來，每一次龐加萊猜想的突破都是數(shù)學(xué)界的大事情。1961年S. Smale證明了龐加萊猜想的五維空間和五維以上的情形，立即引起轟動。斯梅爾由此獲得1966年菲爾茨獎。1982年，M. Freedman證明了四維空間中的龐加萊猜想，并因此獲得1986年菲爾茨獎。很多人用拓?fù)鋵W(xué)的方法研究三維龐加萊猜想沒有進(jìn)展，有人開始想到了其他的工具。W. Thurston就是其中之一。他引入了幾何結(jié)構(gòu)的方法對三維流形進(jìn)行切割，提出了幾何化猜想并解決了一個(gè)重要情形。W. Thurston獲得了1982年的菲爾茨獎。龐加萊猜想是幾何化猜想的一個(gè)特別情形，但W. Thurston解決的情形不包括龐加萊猜想情形。

千百年來，數(shù)學(xué)家們在拓展人類思維邊界的道路上，不懈努力，取得了眾多的杰出成果。但是還有很多懸而未解的重大問題，有待有志者去解決。比如，2000年著名的克雷數(shù)學(xué)研究所將龐加萊猜想等七個(gè)重要數(shù)學(xué)問題列為“七大千禧年難題”，即：NP完全問題、霍奇猜想、龐加萊猜想、黎曼假設(shè)、楊－米爾斯理論、納衛(wèi)爾－斯托可方程、BSD猜想。破解每個(gè)難題都可獲得100萬美元的獎勵，這七大數(shù)學(xué)難題被認(rèn)為是“對數(shù)學(xué)發(fā)展具有中心意義、數(shù)學(xué)家們夢寐以求而期待解決的重大難題”。

傳奇數(shù)學(xué)家Perelman在花了8年多時(shí)間研究龐加萊猜想這個(gè)足有一個(gè)世紀(jì)的數(shù)學(xué)難題后，在2002年11月和2003年7月之間，將3份關(guān)鍵論文的手稿上傳到arXiv.org這個(gè)專門刊登數(shù)學(xué)等學(xué)科的預(yù)印本論文的網(wǎng)站上，并用電郵通知了幾位數(shù)學(xué)家，聲稱自己證明了幾何化猜想。后來，Perelman理所當(dāng)然地得了菲爾茲獎，但是他沒有去領(lǐng)獎。Perelman的數(shù)學(xué)才華和特立獨(dú)行，大家在網(wǎng)上都能查到一些描述，在這里就不再贅述。

傳奇數(shù)學(xué)家Perelman

Perelman的證明中使用了R. Hamilton引進(jìn)的Ricci流，它是一組微分方程。他通過完成一系列的拓?fù)涫中g(shù)，構(gòu)造奇點(diǎn)可控的幾何解，從而解決了幾何化猜想以及三維的龐加萊猜想。這是用幾何分析技巧理解拓?fù)鋯栴}的典范。

Ricci Flow

不僅數(shù)學(xué)不同分支之間有深刻的聯(lián)系。數(shù)學(xué)和物理更是一直相互啟發(fā)，相互推動，一同發(fā)展。愛因斯坦方程在廣義相對論中，宇宙一切物質(zhì)的運(yùn)動都可以用幾何學(xué)中的曲率來描述，引力場實(shí)際上就是一個(gè)彎曲的時(shí)空。

計(jì)數(shù)幾何是代數(shù)幾何的一個(gè)重要分支，研究幾何方程的解的個(gè)數(shù)。它有非常悠久的歷史。近三十年來，計(jì)數(shù)幾何與物理的拓樸場理論研究相互影響，促進(jìn)了兩個(gè)學(xué)科的高度發(fā)展。它的研究更加系統(tǒng)化，與數(shù)學(xué)其他分支，如表示論、微分方程等緊密相連。量子同調(diào)環(huán)就是一例。1993年，受物理中場論研究的啟發(fā)，我和阮勇斌首次建立它的數(shù)學(xué)理論，解決了一類經(jīng)典的計(jì)數(shù)幾何問題。

數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)學(xué)、生物學(xué)等學(xué)科的發(fā)展中也起到非常重要的作用。很多諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎得主都是學(xué)數(shù)學(xué)出身的，大家熟悉的約翰·納什、就是數(shù)學(xué)家，也是奧斯卡電影獎《美麗心靈》的主人公原型。約翰·納什也是普林斯頓大學(xué)教授，我之前在普林斯頓工作，在校園里時(shí)常見到他。納什不僅獲得諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎，他還獲得阿貝爾獎。阿貝爾大獎是數(shù)學(xué)界的重大獎項(xiàng)，為了紀(jì)念挪威著名數(shù)學(xué)家阿貝爾二百周年誕辰而設(shè)立的，據(jù)說設(shè)立此獎的一個(gè)原因也是因?yàn)橹Z貝爾獎沒有數(shù)學(xué)獎項(xiàng)，阿貝爾獎獎金的數(shù)額大致同諾貝爾獎相近。

約翰·納什

此外，1997年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎得主羅伯特·莫頓，他也是數(shù)學(xué)家。2005年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎得主羅伯特·奧曼的最高學(xué)歷是麻省理工的數(shù)學(xué)博士。2012年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎頒發(fā)給哈佛大學(xué)教授羅斯和加州大學(xué)的沙普利，他們倆本科和博士都讀的是數(shù)學(xué)專業(yè)。

數(shù)學(xué)在醫(yī)學(xué)上也無處不在，如利用概率和統(tǒng)計(jì)來驗(yàn)證新藥或程序的有效性，或估計(jì)接受某些治療的癌癥患者的存活率。現(xiàn)在我們在醫(yī)院中常見的CT成像技術(shù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是Radon變換。

CT成像技術(shù)

純數(shù)學(xué)在遺傳學(xué)的一個(gè)重要的應(yīng)用是“哈代定律”。哈代是著名數(shù)學(xué)家，他曾經(jīng)說過：我從未做過任何有用的事情，我的發(fā)明不會直接或間接的對改變世界作出任何貢獻(xiàn)。有趣的是，1908年哈代的工作在遺傳學(xué)方面得到了應(yīng)用，并且有一個(gè)以他的名字命名的哈代定律，被稱為人口遺傳學(xué)的科學(xué)基礎(chǔ)。1854年英國醫(yī)生John Snow通過繪制英國倫敦的霍亂地圖及利用統(tǒng)計(jì)方法，發(fā)現(xiàn)了病毒來自于被污染的水泵。近年來，研究者們綜合利用統(tǒng)計(jì)模型，基于多源信息對傳染病的流行規(guī)律進(jìn)行更加精確地建模分析。此次新型冠狀病毒疫情中, 國內(nèi)外研究團(tuán)隊(duì)大多數(shù)都是以動力學(xué)模型為基礎(chǔ)，給出疫情發(fā)展趨勢的分析和預(yù)測。中國數(shù)學(xué)會已向國家提交多篇有關(guān)論文和報(bào)告。

近年來，人工智能、大數(shù)據(jù)興起，成為受人矚目的研究領(lǐng)域，北京大學(xué)還設(shè)置了數(shù)據(jù)科學(xué)專業(yè)。人工智能、大數(shù)據(jù)其實(shí)也是與數(shù)學(xué)密不可分的。有觀點(diǎn)認(rèn)為，AI人工智能科技的本質(zhì)就是數(shù)學(xué)。而大數(shù)據(jù)，本質(zhì)上就是海量數(shù)據(jù)的匯集，數(shù)學(xué)提供了研究基礎(chǔ)和工具。

可見，數(shù)學(xué)有極大的價(jià)值和用處。歷史的經(jīng)驗(yàn)告訴我們，數(shù)學(xué)研究在發(fā)達(dá)國家的科學(xué)戰(zhàn)略中始終居于最重要的地位。我們的國家要實(shí)現(xiàn)可持續(xù)發(fā)展必須有原創(chuàng)性的科學(xué)研究以及原創(chuàng)性的數(shù)學(xué)研究！

數(shù)學(xué)等基礎(chǔ)學(xué)科已經(jīng)得到國家重視，2018年國務(wù)院印發(fā)《關(guān)于全面加強(qiáng)基礎(chǔ)科學(xué)研究的若干意見》，以進(jìn)一步加強(qiáng)基礎(chǔ)科學(xué)研究、大幅提升原始創(chuàng)新能力，夯實(shí)建設(shè)創(chuàng)新型國家和世界科技強(qiáng)國的基礎(chǔ)。

為了落實(shí)《關(guān)于全面加強(qiáng)基礎(chǔ)科學(xué)研究的若干意見》要求，切實(shí)加強(qiáng)我國數(shù)學(xué)科學(xué)研究，2019年7月12日，科技部、教育部等四部委聯(lián)合印發(fā)《關(guān)于加強(qiáng)數(shù)學(xué)科學(xué)研究工作方案》。工作方案指出：數(shù)學(xué)實(shí)力往往影響著國家實(shí)力，幾乎所有的重大發(fā)現(xiàn)都與數(shù)學(xué)的發(fā)展與進(jìn)步相關(guān)，數(shù)學(xué)已成為航空航天、國防安全等領(lǐng)域不可或缺的重要支撐。

最后我引用四川大學(xué)羅懋康教授寫的一副對聯(lián)，表明我們數(shù)學(xué)家也不乏有深厚的文學(xué)和藝術(shù)修養(yǎng)。這副對聯(lián)是：天道幾何 萬品流形先自守。變分無限 孤心測度有同倫。從漢語字義和數(shù)學(xué)角度去理解都充滿了深刻的含義。在短短22字中，有幾何、流形、變分、無限等七個(gè)數(shù)學(xué)概念。這副對聯(lián)的意思是：不管客觀世界的規(guī)律如何，萬事萬物都早已按照這些規(guī)律發(fā)展演化?？陀^世界的變化是無窮無盡的，總有一心追尋科學(xué)真理的同路人。數(shù)學(xué)充滿著無窮的魅力，深深吸引著一代又一代有志之士不斷探索、攀登。希望有更多優(yōu)秀人才加入到數(shù)學(xué)研究的行列。謝謝大家！

位于北京大學(xué)全齋北門的數(shù)學(xué)對聯(lián)

Q&A

問：我國中學(xué)生在世界數(shù)學(xué)奧林匹克競賽中屢獲佳績（30多年），而至今無人獲得菲爾茲獎呢？

答：奧數(shù)競賽跟做數(shù)學(xué)研究完全是兩回事。競賽是在指定時(shí)間內(nèi)解出一道給定的題目，而做研究需要自己去開發(fā)問題，對時(shí)間要求沒有那么嚴(yán)格。從實(shí)際情況來說，我們培養(yǎng)一個(gè)數(shù)學(xué)人才，最重要的還是看其是否確實(shí)對數(shù)學(xué)有興趣。很多參與數(shù)學(xué)競賽的學(xué)生后來都不做數(shù)學(xué)了，就是因?yàn)樗麄儗τ跀?shù)學(xué)并沒有興趣或是興趣沒有那么大。我們現(xiàn)在有些年輕數(shù)學(xué)家確實(shí)做出了非常突出的工作成果，至少是有可能得獎的，但是否近幾年內(nèi)就能拿到，這很難說。就像是張偉、惲之瑋、許晨陽、還有朱歆文都做出了相當(dāng)好的工作。我也知道我們現(xiàn)在有一些年輕人也是積極努力朝這個(gè)方向走，獲獎就是一個(gè)時(shí)間早晚的問題。 獲獎與否也取決于很多因素，評審委員會也是來自各個(gè)國家，候選人的工作成果也需得到國際學(xué)術(shù)界的了解和認(rèn)可。我們會為年輕學(xué)者創(chuàng)造更好的條件，鼓勵他們做大問題，參加一些重要的學(xué)術(shù)交流，爭取更多的國際認(rèn)可。當(dāng)然，比起得獎，對數(shù)學(xué)發(fā)展來說更重要的還是產(chǎn)生一些對人類的發(fā)展起到關(guān)鍵推動作用的工作。

問：接觸一個(gè)相對新的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，尤其是對于新人，有什么好的建議嗎？是讀一本這個(gè)領(lǐng)域的著作，還是讀幾篇或者十幾篇高質(zhì)量的論文？如何效率高一些？

答： 打好基礎(chǔ)對學(xué)習(xí)新領(lǐng)域是非常重要的，開始的時(shí)候可以先讀一些相關(guān)領(lǐng)域的書籍了解基本概念，這個(gè)是必要的。再根據(jù)興趣讀一些論文，當(dāng)然論文不像書籍那樣一層一層的條理非常清楚，論文思維上可能會有一些跳躍，讀起來有難度，初學(xué)的人不要感到很為難，不強(qiáng)求讀得多，根據(jù)個(gè)人興趣和情況，可先挑選一些重要的文章閱讀?？梢酝ㄟ^設(shè)法推廣延伸，深入理解論文的結(jié)果和方法，多思考，努力解決一些問題，做研究一定要有耐心，不必太過擔(dān)心效率。

問：怎么樣讓中國數(shù)學(xué)從小學(xué)開始培養(yǎng)，小學(xué)生如何建立數(shù)學(xué)思維，家長在家庭生活中如何有效引導(dǎo)孩子（當(dāng)然不僅僅是學(xué)習(xí)書本）

答：（笑）這個(gè)問題可能是家長提的。剛才我在報(bào)告中也介紹了，其實(shí)數(shù)學(xué)離我們?nèi)粘Ｉ畈⒉贿b遠(yuǎn)，數(shù)學(xué)無處不在，在自然界中有數(shù)學(xué)，在日常生活中到處都能找到數(shù)學(xué)的影子。在家庭教育中，孩子的數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)可以從生活的小事著手。比如孩子很小的時(shí)候讓他對應(yīng)著實(shí)物數(shù)數(shù)，建立起數(shù)字的概念。比較大小、長短、高矮等等，在孩子腦海中建立抽象概念。另外，平時(shí)也可以與孩子玩一些有趣數(shù)學(xué)的游戲。我的母親也是數(shù)學(xué)家，我記得在我小時(shí)候，那時(shí)候物質(zhì)條件遠(yuǎn)不如現(xiàn)在，我母親就和我玩稱球游戲，給定球的數(shù)量和限定稱的次數(shù)，找出壞球。通過寓教于樂，孩子不會覺得枯燥，培養(yǎng)了孩子的好奇心和求知欲，幫助他們建立起邏輯推理的能力。現(xiàn)在有很多學(xué)習(xí)機(jī)會，如科普書籍和網(wǎng)課，可以有針對性地選擇一些數(shù)學(xué)啟蒙書籍對于建立數(shù)學(xué)思維也是很有幫助的，比如我母親在我小時(shí)候就引導(dǎo)我讀幾何原本，那個(gè)時(shí)候我對數(shù)學(xué)產(chǎn)生了濃厚的興趣。

問：來自遼寧-營口的網(wǎng)友：您認(rèn)為目前中國基礎(chǔ)教育的數(shù)學(xué)發(fā)展中的優(yōu)勢在哪里？還有哪些有待進(jìn)一步深入推進(jìn)的方向呢？

答：這十幾年來，中國數(shù)學(xué)有了非常好的發(fā)展，尤其從國家的各大人才計(jì)劃實(shí)行以來，引進(jìn)和培養(yǎng)了一批非常優(yōu)秀的年輕人，對數(shù)學(xué)的隊(duì)伍建設(shè)起了非常好的作用。隨著國家的經(jīng)濟(jì)條件變好，高等教育水平的提高與學(xué)校人才培養(yǎng)質(zhì)量的提升，以及現(xiàn)在國家對數(shù)學(xué)的重視，年輕人學(xué)數(shù)學(xué)的熱情和興趣也提高了，人才后備軍還是很不錯(cuò)的。這幾年我們確實(shí)培養(yǎng)了一些相當(dāng)好的年輕人。整體來看的話，中國數(shù)學(xué)的發(fā)展趨勢還是非常好的。但在一定程度上，如果在三四十歲以下的年輕人中間比較，中國的數(shù)學(xué)人才和美國或是整個(gè)歐洲還是有一定差距，但是要是和歐洲某個(gè)國家相比，我們還是有一定優(yōu)勢的，因?yàn)榇_實(shí)有一批優(yōu)秀的年輕人，而且中國人也多。和美國相比的話，美國的優(yōu)秀人才的來源更豐富也更多元，因?yàn)樗讶澜鐑?yōu)秀的人都吸引過去了，而我們目前主要的人才來源還是集中在華人或者是歸國的人才，還有靠自己培養(yǎng)的一部分人才。但是我對于以后的發(fā)展還是充滿信心，主要是我們的隊(duì)伍比較好，當(dāng)然可能還需要一些時(shí)間讓外人來了解我們所做的工作，再通過一定的努力可以吸引到一些國外的好的學(xué)生或是博士來中國學(xué)習(xí)、工作，以擴(kuò)大我們的國際影響。當(dāng)然，一所大學(xué)或者科研機(jī)構(gòu)是否真的達(dá)到世界一流，其中一個(gè)重要的標(biāo)準(zhǔn)是看世界各地的年輕人是否愿意來這里學(xué)習(xí)。對于博士或是博士后來說，他們不會只考慮待遇的問題，他們更看重在這里的經(jīng)歷對他們以后的發(fā)展有沒有幫助。在這個(gè)方面上，我們的條件也是越來越好了，有一定的競爭力，但是還是需要繼續(xù)努力。

（文中主要圖片來自于網(wǎng)絡(luò)，特此致謝）

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田剛院士在線科普講座《數(shù)學(xué)內(nèi)外》演示文稿