「編者按」“中國古代數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)”一文，作者系周向宇院士。在研究專業(yè)數(shù)學(xué)之余，作者將學(xué)習(xí)和研究中國古代數(shù)學(xué)的心得體會(huì)與研究成果整理成文，刊發(fā)于《數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，中文版》2022年第4期。該文闡釋與揭示了中國古代數(shù)學(xué)對(duì)華夏文明的貢獻(xiàn)，對(duì)國學(xué)、語言、文化的影響，以及對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的影響與貢獻(xiàn)。“數(shù)學(xué)大院”公眾號(hào)將陸續(xù)以推文呈現(xiàn)，讓讀者從多方面領(lǐng)略中國古代數(shù)學(xué)的成就與貢獻(xiàn)。

愚公回答的前半部分，定義了自然數(shù)及其加法，也認(rèn)識(shí)到了自然數(shù)的無窮性。我們來構(gòu)建自然數(shù)的愚公子孫模型。愚公子孫的輩分集與自然數(shù)集構(gòu)成了一一對(duì)應(yīng)(對(duì)輩分集可自然引進(jìn)加法與減法)，并且這個(gè)對(duì)應(yīng)保持代數(shù)運(yùn)算。這里的輩分集是愚公子孫的等價(jià)類所構(gòu)成的集合，愚公的兩個(gè)后代稱為等價(jià)，當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)后代是同一輩分。假設(shè)愚公本人對(duì)應(yīng)于，其子輩對(duì)應(yīng)于，其孫輩(即子之子輩)對(duì)應(yīng)于

依次類推，可以定義自然數(shù)的后繼數(shù)：設(shè)愚公某后輩對(duì)應(yīng)于，則該后輩的子輩對(duì)應(yīng)于。往后數(shù)輩分得加法，往前溯輩分得減法。

這就是結(jié)合律。

(2)愚公家族血脈流淌，即愚公家族的任一輩(代)均有子輩。

這個(gè)模型反映了自然數(shù)作為基數(shù)與序數(shù)的特點(diǎn)。這個(gè)模型蘊(yùn)含歸納公理，反映了數(shù)學(xué)歸納法原理，一個(gè)關(guān)于愚公家族的命題對(duì)世世代代(所有輩分)都成立，只需：1、命題對(duì)愚公成立；2、若命題對(duì)愚公家族某代成立，則對(duì)其子輩也成立。比如愚公家族世世代代愛勞動(dòng)，只需知道：1、愚公愛勞動(dòng)；2、若愚公家族某一輩愛勞動(dòng)，則其子輩也愛勞動(dòng)。

愚公說：“子子孫孫，無窮匱也，而山不加增，何苦而不平？”假設(shè)太行、王屋二山的土石方量為，假設(shè)愚公家族每一代能挖的土石方量至少為。非常大，但山不加增，所以是一個(gè)常數(shù)。可能非常小，但它總大于，一代人能挖，代人就能挖。因?yàn)樽幼訉O孫無窮匱，是變數(shù)，可以趨于無窮大。“何苦而不平”是說，總可以找到自然數(shù)，使得

有趣的是，愚公子孫模型還可以擴(kuò)展為祖孫模型。愚公祖孫的輩分集與整數(shù)集構(gòu)成了一一對(duì)應(yīng)，并且保持代數(shù)運(yùn)算；負(fù)數(shù)是有意義的，小的數(shù)可以減大的數(shù)。如何定義負(fù)整數(shù)和減法呢？愚公對(duì)應(yīng)于，他的父輩對(duì)應(yīng)于，他的祖父(父輩之父輩)則對(duì)應(yīng)于。如果愚公的某祖輩對(duì)應(yīng)于，則該祖輩之父輩對(duì)應(yīng)于，這樣就可以定義減法。中國古代數(shù)學(xué)很早就認(rèn)識(shí)并使用負(fù)數(shù)，而西方長期不承認(rèn)負(fù)數(shù)、認(rèn)為小數(shù)不可以減大數(shù)。愚公的孫子的曾祖是愚公之父，對(duì)應(yīng)于，這就是小數(shù)減大數(shù)，有鮮活的意義。愚公的曾祖的孫子也是愚公之父，對(duì)應(yīng)于，因此交換律仍然成立。結(jié)合律的證明同理。

愚公的堅(jiān)持不懈感天動(dòng)地，感動(dòng)上天。愚公受上天助力，移山成功。小時(shí)候讀到這時(shí)，覺得這是不是迷信。后來做數(shù)學(xué)，思考數(shù)學(xué)問題，費(fèi)時(shí)長久，還是未能攻破，但依然久久為功、堅(jiān)持不懈，到某時(shí)不知何故卻豁然開朗，靈感出現(xiàn)，終攻破難題，真是天助也。常言道“天道酬勤”也許就是在詮釋這種現(xiàn)象吧。

我認(rèn)為愚公開啟了計(jì)量克難學(xué)。記愚公家族到第代的克難量為，則有愚公克難公式

例子1：學(xué)前兒童面對(duì)中學(xué)、大學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容，猶如愚公碰到大山一樣，困難當(dāng)然很大?？墒侵灰獙W(xué)生在小學(xué)、初中、高中各個(gè)階段，每學(xué)年、每學(xué)期都按部就班完成學(xué)習(xí)任務(wù)，堅(jiān)持不懈，就能完成學(xué)業(yè)。

例子2：實(shí)現(xiàn)GDP大幅增長的長期宏偉目標(biāo)，看起來困難很大，但只要我們不怕困難，迎難而上，按部就班完成每年計(jì)劃、五年規(guī)劃，堅(jiān)持不懈，就能實(shí)現(xiàn)目標(biāo)。

愚公克難公式是線性的。愚公的感天動(dòng)地，可以認(rèn)為他得到非線性量的幫助， 所以這時(shí)有

這里是非線性量或突變量。這反映出量變到質(zhì)變的道理、突變發(fā)生現(xiàn)象。

有時(shí)困難量不是常量，這時(shí)情況復(fù)雜。記困難函數(shù)為面臨的困難量、克難函數(shù)為克服困難的力量，它們涉及的變量、因素多。戰(zhàn)略上藐視困難：相當(dāng)于說，困難函數(shù)相比于克難函數(shù)是無窮小量，可寫成，即困難函數(shù)與克難函數(shù)之比趨于零。為了做到這，就需在戰(zhàn)術(shù)上重視困難，比如采取措施使困難函數(shù)成有界函數(shù)，讓克難函數(shù)成單增無界函數(shù)。

[1] 毛澤東, 改造我們的學(xué)習(xí), 毛澤東選集第三卷, 北京: 人民出版社, 1991:797.

[2] Cajori F., A History of Mathematical Notations, Dover Publications, Inc. New York, 1993:70.

[3] Gowers T. (Ed.), The Princeton Companion to Mathematics, Princeton University Press, 2008.

[4] 吳文俊, 對(duì)中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的再認(rèn)識(shí), 百科知識(shí), 1980年第7--8期.

[5] 程貞一, 聞人軍, 周髀算經(jīng)譯注, 上海: 上海古籍出版社, 2012.

[6] 卡爾·博耶(Carl B. Boyer)著, 尤塔·梅茲巴赫(Uta C. Merzbach)修訂, 數(shù)學(xué)史(修訂版), 中央編譯出版社, 2012.

[7] 吳文俊主編, 世界著名數(shù)學(xué)家傳記, 花拉子米, 北京: 科學(xué)出版社, 1995.

[8] 李文林, 數(shù)學(xué)史概覽, 北京: 高等教育出版社, 2000.

[9] 中國大百科全書,數(shù)學(xué)卷, 數(shù)學(xué)編輯委員會(huì)主任: 華羅庚, 蘇步青, 北京: 中國大百科全書出版社, 1992.

[10] 周易、老子、墨子、列子、莊子、孟子、荀子、管子、韓非子、左傳、淮南子、貞觀政要, 中華經(jīng)典名著全本全注全譯叢書, 北京: 中華書局, 2010--2019.