周向宇院士：中國(guó)古代數(shù)學(xué)的成就

發(fā)布時(shí)間：2024-01-25

「編者按」“中國(guó)古代數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)”一文，作者系周向宇院士。在研究專業(yè)數(shù)學(xué)之余，作者將學(xué)習(xí)和研究中國(guó)古代數(shù)學(xué)的心得體會(huì)與研究成果整理成文，刊發(fā)于《數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，中文版》2022年第4期。該文闡釋與揭示了中國(guó)古代數(shù)學(xué)對(duì)華夏文明的貢獻(xiàn)，對(duì)國(guó)學(xué)、語言、文化的影響，以及對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的影響與貢獻(xiàn)?！皵?shù)學(xué)大院”公眾號(hào)將陸續(xù)以推文呈現(xiàn)，讓讀者從多方面領(lǐng)略中國(guó)古代數(shù)學(xué)的成就與貢獻(xiàn)。

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圖片來源：永樂大典.卷16343-16344.算字.明嘉靖隆慶間內(nèi)府重寫本.劍橋大學(xué)圖書館藏

以下內(nèi)容節(jié)選自“中國(guó)古代數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)”一文第三章“中國(guó)古代數(shù)學(xué)的成就”，作者系周向宇院士。

3.1 代數(shù)思想

中國(guó)古代很早就有了零的思想，比如在籌算中用空位表示零。零不僅指各個(gè)數(shù)位上的零(用空位表示，后用圓圈O)，也包括運(yùn)算結(jié)果中的零。中國(guó)古代很早就引進(jìn)了負(fù)數(shù)，在《九章算術(shù)》里就很明確地引進(jìn)了負(fù)數(shù)、加法的逆運(yùn)算減法及其運(yùn)算規(guī)則(交換律、結(jié)合律)，乘法的分配律，乘法的逆運(yùn)算及分?jǐn)?shù)及其運(yùn)算律，這是數(shù)學(xué)發(fā)展中的一個(gè)里程碑。所以說，中國(guó)古代數(shù)學(xué)最早認(rèn)識(shí)、發(fā)現(xiàn)、引進(jìn)了第一個(gè)無限群、環(huán)、域(整數(shù)群、整數(shù)環(huán)、有理數(shù)域)；另外還引進(jìn)了矩陣(matrix)，發(fā)現(xiàn)了消元法(Gaussian elimination)，解決了線性方程組求解問題(Cramer's Rule for system of linearequations)。

《九章算術(shù)》是一部十分重要的數(shù)學(xué)著作，總結(jié)了戰(zhàn)國(guó)、秦、漢時(shí)期的數(shù)學(xué)成就，西漢的張蒼、耿壽昌等曾經(jīng)做過增補(bǔ)和整理，后來劉徽給它作了注解。雖然最后成書于東漢前期(公元一世紀(jì)左右)，但許多內(nèi)容顯然早已存在于先秦。這從劉徽為《九章算術(shù)》作的注就可看出。負(fù)元(逆元)、逆運(yùn)算及其運(yùn)算規(guī)律的引進(jìn)使得運(yùn)算變得方便靈活，完滿解決了運(yùn)算問題，為抽象代數(shù)的產(chǎn)生奠定了基礎(chǔ)。對(duì)其意義與價(jià)值，套用拉普拉斯關(guān)于十進(jìn)位值制的話來評(píng)價(jià)是不過分的。

3.2 天元術(shù)

中國(guó)古代數(shù)學(xué)用算籌計(jì)算圓周率，開平方根、立方根和更高次的根，對(duì)多項(xiàng)式方程進(jìn)行數(shù)值求解。此外，中國(guó)古代數(shù)學(xué)還引進(jìn)了未知量“天元”，國(guó)家自然科學(xué)基金有一個(gè)“數(shù)學(xué)天元基金”，就是為了紀(jì)念中國(guó)古代引進(jìn)了變量、未知量、待定量?！八卧慕堋崩钜薄⑶鼐派?、楊輝、朱世杰建立、整理和發(fā)展了天元術(shù)，而到了朱世杰時(shí)期已經(jīng)發(fā)展成為了天、地、人、物四個(gè)變?cè)?/span>

在宋元四杰時(shí)期(大約為十三、十四世紀(jì))，中國(guó)數(shù)學(xué)的發(fā)展達(dá)到了一個(gè)高峰，比如十進(jìn)分?jǐn)?shù)。比如秦九韶的大衍求一術(shù)(1247年)，這個(gè)結(jié)果被稱為中國(guó)剩余定理(高斯后來重新發(fā)現(xiàn))。又比如高次方程的數(shù)值解法，也是秦九韶基于很多古代數(shù)學(xué)家的貢獻(xiàn)發(fā)展總結(jié)而來的。西方在19世紀(jì)重新發(fā)現(xiàn)這個(gè)方法，并稱為霍納方法(Horner's scheme)，在前蘇聯(lián)編撰的《數(shù)學(xué)百科全書》的相應(yīng)條目“Horner's scheme”里、

3.3 極限思想

再來談?wù)勚袊?guó)古代的極限思想。《莊子·天下》有句惠子名言: “一尺之棰，日取其半，萬世不竭。”第一天取木棰長(zhǎng)度的，第二天取，到了第天取，萬世都不會(huì)窮盡。寫成式子，即

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后面必然需要省略號(hào)“......”。

另外，《墨子·經(jīng)下》有句話的意思是說， 一條線段從中點(diǎn)分為兩半，取其一半再破成兩半， 仍取一半繼續(xù)分割， 直到不可分割時(shí)就只剩一個(gè)點(diǎn)?！赌印そ?jīng)下》：“非半弗[著斤] (編者注：該字左著右斤，讀作zhuó，因GBK編碼無法顯示該生僻字，故本文以[著斤]代替)，則不動(dòng)， 說在端。”這里，[著斤](zhuó) (注：有的書也用斫)意指：用刀斧砍?！督?jīng)說下》曰：“非[著斤]半，進(jìn)前取也。前則中無為半， 猶端也。前后取，則端中也。[著斤]必半，毋與非半，不可[著斤]也”。墨子的半分法體現(xiàn)了(事實(shí)上等價(jià)于)區(qū)間套原理。半分法可以用來證明數(shù)學(xué)分析里的幾個(gè)重要、被認(rèn)為有難度的定理。比如證明致密性定理、聚點(diǎn)定理、有限覆蓋定理，還有連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理、Henstock--Kurzweil積分中的基礎(chǔ)---Cousin引理(對(duì)閉區(qū)間上的任一正函數(shù)，總存在閉區(qū)間的-細(xì)度分劃(-fine Perron partition)) (HK積分僅對(duì)黎曼積分做些許改動(dòng)，就蘊(yùn)含了勒貝格積分)，其實(shí)用的都是墨子的半分法。

另外，惠子的取半、墨子的半分及王爾的半中說明古人應(yīng)該很早就會(huì)用尺規(guī)平分線段。

劉徽和祖沖之的“割圓術(shù)”也蘊(yùn)含了極限的思想。祖率(密率)


是非常巧妙的。祖沖之和他的兒子祖暅編寫了《綴術(shù)》，這本書是唐朝算學(xué)科最難的課本。祖暅原理“冪勢(shì)既同，則積不容異”， 就是說：如果兩個(gè)立方體的所有等高的橫截面積全都相等，則它們的體積必相同(這里“既”是“全、都”之意)。這在微積分里被西方稱為卡瓦列里(Cavalieri)原理。祖暅用其原理求出“牟合方蓋”的體積，進(jìn)而得出球體積， 解決了劉徽遺留問題。

《綴術(shù)》代表了當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)的最高水平， 但“學(xué)官莫能究其深?yuàn)W，是故廢而不理”， 這本書最終失傳了， 這是十分遺憾的事情。在我看來，《綴術(shù)》蘊(yùn)含極限思想， 光從書名來看， “綴”就有連續(xù)的含義。

明朝數(shù)學(xué)家王文素及其《算學(xué)寶鑒》對(duì)數(shù)學(xué)有重要貢獻(xiàn)， 比如對(duì)于17世紀(jì)微積分創(chuàng)立時(shí)期出現(xiàn)的導(dǎo)數(shù)， 王文素在16 世紀(jì)已發(fā)現(xiàn)并使用。

上述成就當(dāng)然是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的成就， 只是中國(guó)古代數(shù)學(xué)的一小部分。

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本文原載于《數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，中文版》2022年第四期，由編輯部授權(quán)轉(zhuǎn)載。


文章來源：數(shù)學(xué)大院


數(shù)學(xué)會(huì)獎(jiǎng)項(xiàng)

華羅庚獎(jiǎng)

華羅庚先生是我國(guó)著名數(shù)學(xué)家

華羅庚先生是我國(guó)著名數(shù)學(xué)家，他熱愛祖國(guó)，獻(xiàn)身科學(xué)事業(yè)，一生為發(fā)展我國(guó)的數(shù)學(xué)事業(yè)和培養(yǎng)人才做出了卓越貢獻(xiàn)。

陳省身獎(jiǎng)

陳省身教授是一位國(guó)際數(shù)學(xué)大師

國(guó)際數(shù)學(xué)大師陳省身教授是美籍華裔數(shù)學(xué)家、中國(guó)科學(xué)院外籍院士。他非常關(guān)心祖國(guó)數(shù)學(xué)事業(yè)的發(fā)展，幾十年來在發(fā)展我國(guó)數(shù)學(xué)事業(yè)、培養(yǎng)數(shù)學(xué)人才等方面做了大量工作。

鐘家慶獎(jiǎng)

鐘家慶教授生前對(duì)祖國(guó)數(shù)學(xué)事業(yè)的發(fā)展極其關(guān)切

鐘家慶教授生前對(duì)祖國(guó)數(shù)學(xué)事業(yè)的發(fā)展極其關(guān)注，并為之拚搏一生。為了紀(jì)念并實(shí)現(xiàn)他發(fā)展祖國(guó)數(shù)學(xué)事業(yè)的遺愿，數(shù)學(xué)界有關(guān)人士于1987年共同籌辦了鐘家慶基金，并設(shè)立了鐘家慶數(shù)學(xué)獎(jiǎng)，委托中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)承辦。

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