再來談?wù)勚袊糯臉O限思想?！肚f子·天下》有句惠子名言: “一尺之棰，日取其半，萬世不竭?！钡谝惶烊∧鹃㈤L度的，第二天取，到了第天取，萬世都不會窮盡。寫成式子，即

后面必然需要省略號“......”。

另外，《墨子·經(jīng)下》有句話的意思是說， 一條線段從中點分為兩半，取其一半再破成兩半， 仍取一半繼續(xù)分割， 直到不可分割時就只剩一個點?！赌印そ?jīng)下》：“非半弗[著斤] (編者注：該字左著右斤，讀作zhuó，因GBK編碼無法顯示該生僻字，故本文以[著斤]代替)，則不動， 說在端?！边@里，[著斤](zhuó) (注：有的書也用斫)意指：用刀斧砍?！督?jīng)說下》曰：“非[著斤]半，進(jìn)前取也。前則中無為半， 猶端也。前后取，則端中也。[著斤]必半，毋與非半，不可[著斤]也”。墨子的半分法體現(xiàn)了(事實上等價于)區(qū)間套原理。半分法可以用來證明數(shù)學(xué)分析里的幾個重要、被認(rèn)為有難度的定理。比如證明致密性定理、聚點定理、有限覆蓋定理，還有連續(xù)函數(shù)的零點存在定理、Henstock--Kurzweil積分中的基礎(chǔ)---Cousin引理(對閉區(qū)間上的任一正函數(shù)，總存在閉區(qū)間的-細(xì)度分劃(-fine Perron partition)) (HK積分僅對黎曼積分做些許改動，就蘊(yùn)含了勒貝格積分)，其實用的都是墨子的半分法。

另外，惠子的取半、墨子的半分及王爾的半中說明古人應(yīng)該很早就會用尺規(guī)平分線段。

劉徽和祖沖之的“割圓術(shù)”也蘊(yùn)含了極限的思想。祖率(密率)

是非常巧妙的。祖沖之和他的兒子祖暅編寫了《綴術(shù)》，這本書是唐朝算學(xué)科最難的課本。祖暅原理“冪勢既同，則積不容異”， 就是說：如果兩個立方體的所有等高的橫截面積全都相等，則它們的體積必相同(這里“既”是“全、都”之意)。這在微積分里被西方稱為卡瓦列里(Cavalieri)原理。祖暅用其原理求出“牟合方蓋”的體積，進(jìn)而得出球體積， 解決了劉徽遺留問題。

《綴術(shù)》代表了當(dāng)時數(shù)學(xué)的最高水平， 但“學(xué)官莫能究其深奧，是故廢而不理”， 這本書最終失傳了， 這是十分遺憾的事情。在我看來，《綴術(shù)》蘊(yùn)含極限思想， 光從書名來看， “綴”就有連續(xù)的含義。

明朝數(shù)學(xué)家王文素及其《算學(xué)寶鑒》對數(shù)學(xué)有重要貢獻(xiàn)， 比如對于17世紀(jì)微積分創(chuàng)立時期出現(xiàn)的導(dǎo)數(shù)， 王文素在16 世紀(jì)已發(fā)現(xiàn)并使用。

上述成就當(dāng)然是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的成就， 只是中國古代數(shù)學(xué)的一小部分。

[1] 毛澤東, 改造我們的學(xué)習(xí), 毛澤東選集第三卷, 北京: 人民出版社, 1991:797.

[2] Cajori F., A History of Mathematical Notations, Dover Publications, Inc. New York, 1993:70.

[3] Gowers T. (Ed.), The Princeton Companion to Mathematics, Princeton University Press, 2008.

[4] 吳文俊, 對中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的再認(rèn)識, 百科知識, 1980年第7--8期.

[5] 程貞一, 聞人軍, 周髀算經(jīng)譯注, 上海: 上海古籍出版社, 2012.

[6] 卡爾·博耶(Carl B. Boyer)著, 尤塔·梅茲巴赫(Uta C. Merzbach)修訂, 數(shù)學(xué)史(修訂版), 中央編譯出版社, 2012.

[7] 吳文俊主編, 世界著名數(shù)學(xué)家傳記, 花拉子米, 北京: 科學(xué)出版社, 1995.

[8] 李文林, 數(shù)學(xué)史概覽, 北京: 高等教育出版社, 2000.

[9] 中國大百科全書,數(shù)學(xué)卷, 數(shù)學(xué)編輯委員會主任: 華羅庚, 蘇步青, 北京: 中國大百科全書出版社, 1992.

[10] 周易、老子、墨子、列子、莊子、孟子、荀子、管子、韓非子、左傳、淮南子、貞觀政要, 中華經(jīng)典名著全本全注全譯叢書, 北京: 中華書局, 2010--2019.