今天的報(bào)告，在數(shù)學(xué)文化專家面前作可能有些班門弄斧，但報(bào)告中有些內(nèi)容還是很新穎的，當(dāng)然也有些內(nèi)容，在座的更是專家。

在大多數(shù)人心中，數(shù)學(xué)是冰冷枯燥的，認(rèn)為數(shù)學(xué)是大量的數(shù)字、復(fù)雜的公式、晦澀的推理。但實(shí)際上數(shù)學(xué)不僅是科學(xué)的基礎(chǔ)，也在繪畫、建筑等富有趣味的領(lǐng)域中隨處可見。相比于普通人，數(shù)學(xué)家更能通過數(shù)學(xué)的抽象和簡潔來欣賞它的奇妙之處。那么，作為數(shù)學(xué)家或者數(shù)學(xué)工作者來看，數(shù)學(xué)文化表現(xiàn)在哪些方面？應(yīng)該如何欣賞呢？

數(shù)學(xué)和其他學(xué)科相比最大的區(qū)別在于它具有抽象性，而數(shù)學(xué)工作者對于它的抽象性還是非常欣賞的。實(shí)際上很多人覺得數(shù)學(xué)難的原因就是它太抽象，1、2、3、4、5它并不代表具體的事物，一定程度可能是人類創(chuàng)造出來的一個概念，但它有普適性，也有自己的規(guī)律。數(shù)字從具體物品中抽離出來，產(chǎn)生了數(shù)的概念，這是人類一個最偉大的發(fā)明。早期，計(jì)數(shù)和物品有關(guān)系；后來，我們純粹研究數(shù)，它是一個抽象的東西，這也是我們跟一般動物的區(qū)別。我們也經(jīng)常在視頻中看到，動物也能識別幾顆糖，但至少現(xiàn)在沒有證據(jù)證明它們有數(shù)的抽象概念。

數(shù)論是數(shù)學(xué)的核心分支之一，研究素?cái)?shù)是一個重要部分。素?cái)?shù)是指只能被1和它本身整除的自然數(shù)，如2，3，5，7，11。許多著名猜想都與素?cái)?shù)有關(guān)，如：被譽(yù)為“皇冠上的明珠”的哥德巴赫猜想：任一個大于2的偶數(shù)都可寫成兩個素?cái)?shù)之和。至今最好的結(jié)果是1966年陳景潤先生證明的。我們很早就知道:有無窮多個素?cái)?shù)，第一個證明出現(xiàn)在《幾何原本》中，也可從歐拉公式推出。

公元前300年左右，歐幾里得完成了《幾何原本》一書，全書分15卷，前6卷為平面幾何，卷7至卷10為數(shù)論，之后為立體幾何。全書有5條“公理”或“公設(shè)”、23個定義和467個命題。歐幾里得由公理、公設(shè)和定義出發(fā)，嚴(yán)格推導(dǎo)出命題。特別值得一提的是，北大圖書館原館長毛準(zhǔn)上世紀(jì)30年代個人收藏后留在北大圖書館的《幾何原本》是16世紀(jì)版本，在國內(nèi)可能是收藏最早的《幾何原本》。

公元1607年，徐光啟和利瑪竇共同翻譯了《幾何原本》的前6卷，這個中文譯本是阿拉伯世界以外的第一個東方譯本，比西方許多國家的初譯本都早至少100年，例如，俄羅斯、瑞典、丹麥、波蘭等文字譯本的出現(xiàn)分別晚至1739、1744、1745和1817年。徐光啟是首先把“幾何”一詞作為數(shù)學(xué)的專業(yè)名詞來使用的，并斷言：“竊意百年之后必人人習(xí)之”， “能精此書者，無一事不可精；好學(xué)此書者，無一事不可學(xué)?！币虼藥装倌昵吧踔粮纾覀兊南容吘驼J(rèn)識到現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要性。

在2000年前，《幾何原本》就證明了素?cái)?shù)有無窮多個，這是非常了不起的，因?yàn)樗財(cái)?shù)有無窮多個在當(dāng)時不是很有用的知識，它是在非常思辨、邏輯性非常強(qiáng)的狀態(tài)下證明的。

“素?cái)?shù)定理”是很抽象的，我們期望了解素?cái)?shù)的分布，前100個數(shù)有25個素?cái)?shù)，前1000個數(shù)有100多個素?cái)?shù)等。實(shí)際上素?cái)?shù)是有規(guī)律的，這對數(shù)學(xué)家來說是非常奇妙的。本來1萬、100萬個素?cái)?shù)都很難發(fā)現(xiàn)它的規(guī)律，即使用計(jì)算機(jī)處理，也很難看出它的抽象性，但我們卻發(fā)現(xiàn)了它的規(guī)律，在數(shù)學(xué)中有很多這樣的例子。第一個有關(guān)素?cái)?shù)的抽象結(jié)果就是素?cái)?shù)定理：設(shè)x≥1，用π(x)表示不超過x的素?cái)?shù)的個數(shù)，那么當(dāng)x趨于無窮時，π(x)接近于x/ln(x)。如果x是1億，素?cái)?shù)有500多萬；如果x是100億，素?cái)?shù)有4億多。 1896年，阿達(dá)馬和瓦萊布桑各自獨(dú)立地證明了素?cái)?shù)定理。1949年，塞爾伯格和埃爾德什分別獨(dú)立地給出了素?cái)?shù)定理的完全“初等”的證明。從數(shù)學(xué)家的角度看，這個定理非常的漂亮，雖然我不研究數(shù)論，但這個定理我自己看也是非常漂亮的。

第二個抽象起來的就是黎曼猜想，對于黎曼猜想大家都了解很多，黎曼猜想是黎曼提出的聞名于世的重要數(shù)學(xué)問題，是一個與素?cái)?shù)規(guī)律密切相關(guān)的猜想，實(shí)際上它可以用來問這個素?cái)?shù)定理是不是更精確。黎曼是偉大的數(shù)學(xué)家，它不僅是在數(shù)論方向、還在幾何方向也有重大的原創(chuàng)性突破，如我們現(xiàn)在研究的黎曼幾何等。對于復(fù)變量 s = σ + it，黎曼定義函數(shù)ζ(s)如下（1），對于學(xué)過基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的老師們都清楚，對于（1）這個級數(shù)，當(dāng)Re（s）＞1時是收斂的，當(dāng)s=1時，是調(diào)和級數(shù)，就不收斂了。

黎曼通過一些方式表達(dá)了數(shù)學(xué)的奇妙性，或者稱為解析延拓性。即同樣的問題，從不同角度去觀察時，得到的回饋是不一樣的，實(shí)際生活中如此，數(shù)學(xué)也是如此，從解析延拓性方面來說可以作抽象的反應(yīng)，所以換一個角度去考慮后可以得到不同的結(jié)論。如果把黎曼zeta函數(shù)表示成如下形式：

我們會發(fā)現(xiàn)只要s的實(shí)部大于0時，這個函數(shù)就是收斂的。黎曼zeta函數(shù)滿足以下函數(shù)方程：

所以將剛才的冪級數(shù)換個積分形式表示以后，我們會發(fā)現(xiàn)這個函數(shù)在更大的范圍內(nèi)是可以定義的。總之，黎曼發(fā)現(xiàn)這個函數(shù)可以在除了在s=1之外的整個平面上定義且解析， 而s=1是一個一階極點(diǎn)。這個函數(shù)它還有很多性質(zhì)，比如在s=-1，它是收斂的ζ(s) = -1/12。巧妙的是，在（1）中，當(dāng)s=-1，可得1+2+3+4+5+……，是不收斂的，而我們換了一個角度研究（2）、（3），發(fā)現(xiàn)它又是收斂的，從而體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的神奇性。從數(shù)學(xué)家角度考慮也是非常有意思的，或許是數(shù)學(xué)家在自娛自樂，但這也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與人生一樣都有很大的樂趣性，也是我們傳播數(shù)學(xué)文化的目的。

現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)這類函數(shù)確實(shí)是有用的，在物理中，特別是超弦理論中，被稱為“real normalization”，它是規(guī)范化的，也是有意義的，在物理學(xué)的磁論和場論中都有涉及。數(shù)學(xué)家自娛自樂的知識發(fā)現(xiàn)也是有用的，所以人類的思維有它的獨(dú)特性和美妙性，有它一定運(yùn)行的道理。

素?cái)?shù)有無窮多個，黎曼發(fā)現(xiàn)這些點(diǎn)竟然是有規(guī)律的：素?cái)?shù)的頻率緊密相關(guān)于黎曼zeta函數(shù)ζ(s)的性態(tài)。黎曼假設(shè)斷言，方程ζ(s)=0的所有有意義的解都在一條直線上s = 1/2 + it 。其他平凡零點(diǎn)是 -2n。簡單來說，所有這些平凡和非平凡零點(diǎn)一定會排列成兩條直線，絕對不會有例外，這就是黎曼猜想。人們通過計(jì)算機(jī)去驗(yàn)證黎曼猜想，挨個點(diǎn)去試，至今驗(yàn)證過15萬億個點(diǎn)，都是對的。

上面講了數(shù)學(xué)的抽象性，數(shù)學(xué)家包括古代的先賢，為什么去研究素?cái)?shù)，可能是去探索一些抽象數(shù)的內(nèi)在規(guī)律性。我們后來卻發(fā)現(xiàn)這些規(guī)律性是有用的，如在電子商務(wù)中被廣泛使用的密碼學(xué)中經(jīng)典的RSA算法其基本原理依賴于素?cái)?shù)理論。RSA算法的安全性是因?yàn)樗財(cái)?shù)分解的困難，所以素?cái)?shù)是現(xiàn)代信息安全技術(shù)的基礎(chǔ)。密碼學(xué)廣泛應(yīng)用在我們?nèi)粘Ｉ钪?，包括自動柜員機(jī)的芯片卡、電腦使用者存取密碼、電子商務(wù)等等，它使用了大量的數(shù)學(xué)工具。

數(shù)學(xué)的簡潔美即從復(fù)雜的現(xiàn)象中總結(jié)出非常簡潔的規(guī)律。愛因斯坦說過：“美在本質(zhì)上終究是簡單性?！睔W拉公式：V-E+F=2 (V：頂點(diǎn)，E：邊，F(xiàn)：面) ，雖然無法說清楚有多少凸多面體，但它們總是滿足這一公式。我們可以用歐拉公式來證明只有五種正多面體：用正三角形做面的正四面體、正八面體、正二十面體、用正方形做面的正六面體、用正五邊形做面的正十二面體，這一結(jié)果的證明最早出現(xiàn)在歐幾里得的幾何原本中。

據(jù)說只存在5種正多面體是古希臘數(shù)學(xué)家泰阿泰德發(fā)現(xiàn)的，但它們被稱為“柏拉圖立體”?？梢姳皇谟韫猸h(huán)的也不一定是原本的發(fā)現(xiàn)者。柏拉圖的宇宙觀基本上是一種數(shù)學(xué)的宇宙觀。他設(shè)想宇宙開頭有兩種直角三角形，一種是正方形的一半，另一種是等邊三角形的一半。從這些三角形就合理地產(chǎn)生出四種正多面體，組成四種元素。火是正四面體，氣是正八面體，水是正二十面體，土是立方體。第五種正多面體是由正五邊形形成的十二面體，這是組成天上物質(zhì)的第五種元素，叫做以太。

城市中很多球形建筑上都有12個特殊的點(diǎn)，比如位于北京的中國科技館，這些球形建筑上的12個特殊點(diǎn)，每個點(diǎn)由5個三角形組成，這是多面體幾何性質(zhì)約束的結(jié)果。

將正二十面體的每個側(cè)面切分為4個正三角形（如下圖（1）），側(cè)面被切割并被“吹鼓”的多面體，如此繼續(xù)切割并吹鼓，得到的多面體越來約接近球面（如下圖（2）），

還有足球也是由正二十面體出發(fā)截去頂點(diǎn)并稍加吹鼓起來的（如下圖（6））。

歐拉公式是拓?fù)鋵W(xué)中的一個結(jié)果，拓?fù)鋵W(xué)是研究幾何體在連續(xù)形變下不變性質(zhì)的數(shù)學(xué)分支。在2維情形，歐拉數(shù)可用來做拓?fù)浞诸?，即一個曲面可連續(xù)形變到另一個曲面當(dāng)且僅當(dāng)它們有相同的歐拉數(shù)。

龐加萊猜想（1904）是一個著名的拓?fù)鋯栴}，它給出了3維球面的拓?fù)淇坍嫛Ｔ谝粋€世紀(jì)的漫長時光中一直困擾著全世界的數(shù)學(xué)家們，最終被Perelman用幾何中的曲率流方法解決。

歐拉數(shù)可推廣到高維“多面體”K，也稱復(fù)形， 即 這里F_k表示 k-維面的個數(shù)。如果空間K有復(fù)形結(jié)構(gòu)，則我們可以定義歐拉數(shù)。我們已知任何光滑流形都有復(fù)形結(jié)構(gòu)，故可以有歐拉數(shù)。

如何在更一般的空間上定義歐拉數(shù)？比如對有奇異的空間，即使空間是光滑的流形，證明其有復(fù)形結(jié)構(gòu)也是相當(dāng)復(fù)雜的。因此我們需要一個更拓?fù)?、適用更廣的方法。奇異同調(diào)群給出了這樣一個方法：任何拓?fù)淇臻gM都能定義奇異同調(diào)群，它是由單形到M的連續(xù)映射生成的。在一定的緊性條件下，k-維奇異同調(diào)群是維數(shù)為h_k的向量空間，且只有有限個h_k 非零。我們可定義歐拉數(shù)：, 所以在幾乎所有的空間上都可以定義歐拉數(shù)。

由此可知人類的認(rèn)識是不斷進(jìn)步的，數(shù)學(xué)家不斷地在發(fā)現(xiàn)歐拉數(shù)背后的規(guī)律，這也是一種數(shù)學(xué)文化。所以說數(shù)學(xué)家要不斷地多問一些為什么以及探索背后的原因，或者有沒有更好或者更廣的方式來解釋已有的某些現(xiàn)象，并在此基礎(chǔ)上再做進(jìn)一步研究。

歐拉數(shù)現(xiàn)在仍有發(fā)展。計(jì)數(shù)幾何是代數(shù)幾何的一個重要分支，研究幾何方程的解的個數(shù)，有著悠久的歷史。受物理中場論研究的啟發(fā)， 90年代以來，計(jì)數(shù)幾何發(fā)生了翻天覆地的變化，其發(fā)展關(guān)鍵在于在一類無窮維空間上定義歐拉數(shù)。

現(xiàn)在提到的元宇宙，實(shí)際上就是一個虛擬的東西，希望用虛擬的東西來表現(xiàn)現(xiàn)實(shí)世界。而這些其實(shí)我們數(shù)學(xué)家早就在考慮的東西，包括歐拉數(shù)，起初是在多面體，很具體且很緊迫化，后來發(fā)現(xiàn)歐拉數(shù)實(shí)際不需要那么具體。

GW理論對應(yīng)理論物理中的拓?fù)鋱稣摚臄?shù)學(xué)理論是我和阮勇斌最先在半單辛空間上建立的。之后由我和李駿、Fukaya-Ono等利用虛擬模空間的方法推廣到一般辛空間。GW理論不僅推進(jìn)了計(jì)數(shù)幾何的高度發(fā)展，而且與數(shù)學(xué)很多分支（如無窮維代數(shù)表示和可積系統(tǒng)）緊密相關(guān)，也為鏡對稱等重要問題提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

元宇宙（Metaverse）是利用科技手段進(jìn)行鏈接與創(chuàng)造的，與現(xiàn)實(shí)世界映射與交互的虛擬世界，具備新型社會體系的數(shù)字生活空間。在半單情形，我和阮勇斌用非齊次Cauchy-Riemann方程來構(gòu)造相應(yīng)歐拉數(shù)的。在一般情形，我和李駿引進(jìn)了虛擬?？臻g方法來構(gòu)造這一歐拉數(shù)。最近，徐光博和我利用我和李駿的方法建立了Gauged Linear \sigma-model的數(shù)學(xué)理論。

中國的建筑就很好地應(yīng)用了數(shù)學(xué)的對稱美，有許多的園林建筑都應(yīng)用了這一點(diǎn)。

用形狀、大小完全相同的幾種或幾十種平面圖形進(jìn)行拼接，彼此之間不留空隙、不重疊地鋪成一片，這就是平面圖形的密鋪。這在我們生活中常見，尤其是建筑、裝修等。

任何三角形和凸四邊形（包括正方形，矩形）都可以密鋪整個平面。但除正三角形、正四邊形和正六邊形外，其他正多邊形都不可以密鋪平面。正五邊形不能密鋪，那么會不會有其它圖形可以密鋪？

對于不規(guī)則五邊形密鋪方式，引發(fā)了數(shù)學(xué)家們的興趣，在這個領(lǐng)域取得的進(jìn)展都來自從事數(shù)學(xué)研究的數(shù)學(xué)家。但僅有高中學(xué)歷的家庭主婦瑪喬麗則顛覆了歷史，她連續(xù)發(fā)現(xiàn)了4類不規(guī)則五邊形密鋪方式！之后的第14、15類密鋪也都是科研工作者?，攩帖惪芍^前無古人后無來者！

瑪喬麗?萊斯是美國一位普通的家庭主婦，高中學(xué)歷，有5個孩子。因?yàn)榻o小兒子訂閱科普雜志便喜歡上閱讀雜志里的數(shù)學(xué)科普文章。1975年，瑪喬麗讀到關(guān)于平面密鋪的文章，對此極為感興趣，便開始了她一往無前的研究之旅。1976年，經(jīng)過兩個月的思考和探索，瑪喬麗發(fā)現(xiàn)了一類新的能密鋪滿平面的五邊形，并用自創(chuàng)的一套符號來標(biāo)記。令人驚訝的是，她的研究結(jié)果是正確的！最初幫助驗(yàn)證瑪喬麗密鋪工作結(jié)果的是數(shù)學(xué)教授多麗絲?沙特施耐德，并在1995年受邀美國數(shù)學(xué)會的會議上介紹瑪喬麗的工作，而且美國數(shù)學(xué)會（AMS）總部裝修時，新地板采用了瑪喬麗發(fā)現(xiàn)的五邊形密鋪。

對于單一正多邊形的密鋪，只能采用正三角形、正方形、正六邊形這三種。但是如果采用多種不同的多邊形進(jìn)行密鋪，那么就有新的可能。這一問題是華裔數(shù)學(xué)家王浩在1961年提出的。1976年，由英國數(shù)學(xué)家彭羅斯構(gòu)造出了最為經(jīng)典的采用兩種不同的菱形（36°/144°，72°/108°）的密鋪圖案。

羅杰?彭羅斯是2020年諾貝爾物理學(xué)獎獲得者之一，獲獎原因是在黑洞研究方面做出了杰出貢獻(xiàn)。彭羅斯在趣味數(shù)學(xué)中也有為大家所熟知的工作發(fā)現(xiàn)——彭羅斯密鋪（Penrose Tiling）。用兩種不同形狀但具有同樣邊長的菱形造出無數(shù)個非周期性密鋪。

上世紀(jì)80年代初，以色列化學(xué)家丹·謝赫特曼發(fā)現(xiàn)了一種新的固體材料，這種物質(zhì)被命名為“準(zhǔn)晶”，它的電子衍射圖樣跟彭羅斯密鋪相似。謝赫特曼當(dāng)時并不知道彭羅斯密鋪，后來他才弄清了其中的數(shù)學(xué)理論。2011年，謝赫特曼因?yàn)榇隧?xiàng)工作獲得當(dāng)年的諾貝爾化學(xué)獎。

1248年穆罕默德一世國王阿卜?阿拉罕爾開始將羅馬人的舊城堡擴(kuò)建成規(guī)模宏大的宮殿群，然后由后世繼承者繼續(xù)修建至竣工。紅宮又名阿爾汗布拉宮，是現(xiàn)存最美麗的伊斯蘭建筑之一。阿拉伯人在建筑上常借以密鋪的方式闡釋生命循環(huán)往復(fù)和無限性的意象。目前存在的17種類型幾何密鋪，在紅宮都可以找到。

Maryna Viazovska（烏克蘭數(shù)學(xué)家）是2022年菲爾茲獎（Fields Medals）的四名獲獎?wù)咧?，她獲獎的工作成果其實(shí)與我們?nèi)粘Ｉ钪薪?jīng)常見到的事物有關(guān)。

“橙子堆疊問題” （開普勒猜想）: 假設(shè)有個巨大的箱子以及數(shù)量眾多的橙子，我們?nèi)绾闻挪记驙畹某茸樱拍茏尦茸颖M量多地裝到箱子里？（1）如果箱子很大，形狀的影響可以忽略不計(jì)，答案只取決于箱子的體積，球堆積問題就是找到這個最高比率，也稱為球堆積常數(shù)。（2）降低一個維度，從2維看最佳排布是蜂窩狀排布，任意平面上的每個橙子都與六個橙子相鄰，構(gòu)成正六邊形。

1694年，牛頓與天文學(xué)家格雷戈里（David Gregory）討論體積不同的行星在天空中如何分布，隨后話題轉(zhuǎn)為：一個球能否與13個互不相交的球相切？牛頓認(rèn)為不可能，而格雷戈里猜測可以，此問題也稱為十三球問題。這次討論記錄在格雷戈里的筆記本上并保存在牛津的一所教堂里。當(dāng)時，歐洲人普遍信仰基督教，還有人把這次討論與耶穌的12位門徒聯(lián)系起來。

3維空間里不止一個最佳堆積，有很多比率相等的最佳堆積，其中一種即是之前提及的橙子堆積法（開普勒猜想）。盡管這一猜想看起來簡單，已有400多年歷史。項(xiàng)武義，Thomas Hales著有長篇論文試圖給出證明。Hales的論文2005年發(fā)表在Annals上，但其證明借助計(jì)算機(jī)，驗(yàn)證步驟龐大復(fù)雜。

不借助計(jì)算機(jī)，只用幾頁紙，Maryna Viazovska給出了在 8 維和 24 維高維空間的球體堆積證明。高維空間的球體堆積在現(xiàn)代通訊技術(shù)中發(fā)揮著重要作用，能確?；ヂ?lián)網(wǎng)、衛(wèi)星等傳輸信息的過程中在遇到有干擾的情況下，也能理解傳輸過來的信息。

今天的報(bào)告就講到這里，謝謝大家！

（文中主要圖片來自于網(wǎng)絡(luò)，成稿也得到了一些數(shù)學(xué)界友人的意見建議，特此一并致謝?。?/span>