今天的報告，在數學文化專家面前作可能有些班門弄斧，但報告中有些內容還是很新穎的，當然也有些內容，在座的更是專家。

在大多數人心中，數學是冰冷枯燥的，認為數學是大量的數字、復雜的公式、晦澀的推理。但實際上數學不僅是科學的基礎，也在繪畫、建筑等富有趣味的領域中隨處可見。相比于普通人，數學家更能通過數學的抽象和簡潔來欣賞它的奇妙之處。那么，作為數學家或者數學工作者來看，數學文化表現在哪些方面？應該如何欣賞呢？

數學和其他學科相比最大的區(qū)別在于它具有抽象性，而數學工作者對于它的抽象性還是非常欣賞的。實際上很多人覺得數學難的原因就是它太抽象，1、2、3、4、5它并不代表具體的事物，一定程度可能是人類創(chuàng)造出來的一個概念，但它有普適性，也有自己的規(guī)律。數字從具體物品中抽離出來，產生了數的概念，這是人類一個最偉大的發(fā)明。早期，計數和物品有關系；后來，我們純粹研究數，它是一個抽象的東西，這也是我們跟一般動物的區(qū)別。我們也經常在視頻中看到，動物也能識別幾顆糖，但至少現在沒有證據證明它們有數的抽象概念。

數論是數學的核心分支之一，研究素數是一個重要部分。素數是指只能被1和它本身整除的自然數，如2，3，5，7，11。許多著名猜想都與素數有關，如：被譽為“皇冠上的明珠”的哥德巴赫猜想：任一個大于2的偶數都可寫成兩個素數之和。至今最好的結果是1966年陳景潤先生證明的。我們很早就知道:有無窮多個素數，第一個證明出現在《幾何原本》中，也可從歐拉公式推出。

公元前300年左右，歐幾里得完成了《幾何原本》一書，全書分15卷，前6卷為平面幾何，卷7至卷10為數論，之后為立體幾何。全書有5條“公理”或“公設”、23個定義和467個命題。歐幾里得由公理、公設和定義出發(fā)，嚴格推導出命題。特別值得一提的是，北大圖書館原館長毛準上世紀30年代個人收藏后留在北大圖書館的《幾何原本》是16世紀版本，在國內可能是收藏最早的《幾何原本》。

公元1607年，徐光啟和利瑪竇共同翻譯了《幾何原本》的前6卷，這個中文譯本是阿拉伯世界以外的第一個東方譯本，比西方許多國家的初譯本都早至少100年，例如，俄羅斯、瑞典、丹麥、波蘭等文字譯本的出現分別晚至1739、1744、1745和1817年。徐光啟是首先把“幾何”一詞作為數學的專業(yè)名詞來使用的，并斷言：“竊意百年之后必人人習之”， “能精此書者，無一事不可精；好學此書者，無一事不可學。”因此幾百年前甚至更早，我們的先輩就認識到現代數學的重要性。

在2000年前，《幾何原本》就證明了素數有無窮多個，這是非常了不起的，因為素數有無窮多個在當時不是很有用的知識，它是在非常思辨、邏輯性非常強的狀態(tài)下證明的。

“素數定理”是很抽象的，我們期望了解素數的分布，前100個數有25個素數，前1000個數有100多個素數等。實際上素數是有規(guī)律的，這對數學家來說是非常奇妙的。本來1萬、100萬個素數都很難發(fā)現它的規(guī)律，即使用計算機處理，也很難看出它的抽象性，但我們卻發(fā)現了它的規(guī)律，在數學中有很多這樣的例子。第一個有關素數的抽象結果就是素數定理：設x≥1，用π(x)表示不超過x的素數的個數，那么當x趨于無窮時，π(x)接近于x/ln(x)。如果x是1億，素數有500多萬；如果x是100億，素數有4億多。 1896年，阿達馬和瓦萊布桑各自獨立地證明了素數定理。1949年，塞爾伯格和埃爾德什分別獨立地給出了素數定理的完全“初等”的證明。從數學家的角度看，這個定理非常的漂亮，雖然我不研究數論，但這個定理我自己看也是非常漂亮的。

第二個抽象起來的就是黎曼猜想，對于黎曼猜想大家都了解很多，黎曼猜想是黎曼提出的聞名于世的重要數學問題，是一個與素數規(guī)律密切相關的猜想，實際上它可以用來問這個素數定理是不是更精確。黎曼是偉大的數學家，它不僅是在數論方向、還在幾何方向也有重大的原創(chuàng)性突破，如我們現在研究的黎曼幾何等。對于復變量 s = σ + it，黎曼定義函數ζ(s)如下（1），對于學過基礎數學的老師們都清楚，對于（1）這個級數，當Re（s）＞1時是收斂的，當s=1時，是調和級數，就不收斂了。

黎曼通過一些方式表達了數學的奇妙性，或者稱為解析延拓性。即同樣的問題，從不同角度去觀察時，得到的回饋是不一樣的，實際生活中如此，數學也是如此，從解析延拓性方面來說可以作抽象的反應，所以換一個角度去考慮后可以得到不同的結論。如果把黎曼zeta函數表示成如下形式：

我們會發(fā)現只要s的實部大于0時，這個函數就是收斂的。黎曼zeta函數滿足以下函數方程：

所以將剛才的冪級數換個積分形式表示以后，我們會發(fā)現這個函數在更大的范圍內是可以定義的。總之，黎曼發(fā)現這個函數可以在除了在s=1之外的整個平面上定義且解析， 而s=1是一個一階極點。這個函數它還有很多性質，比如在s=-1，它是收斂的ζ(s) = -1/12。巧妙的是，在（1）中，當s=-1，可得1+2+3+4+5+……，是不收斂的，而我們換了一個角度研究（2）、（3），發(fā)現它又是收斂的，從而體現了數學的神奇性。從數學家角度考慮也是非常有意思的，或許是數學家在自娛自樂，但這也體現了數學與人生一樣都有很大的樂趣性，也是我們傳播數學文化的目的。

現在發(fā)現這類函數確實是有用的，在物理中，特別是超弦理論中，被稱為“real normalization”，它是規(guī)范化的，也是有意義的，在物理學的磁論和場論中都有涉及。數學家自娛自樂的知識發(fā)現也是有用的，所以人類的思維有它的獨特性和美妙性，有它一定運行的道理。

素數有無窮多個，黎曼發(fā)現這些點竟然是有規(guī)律的：素數的頻率緊密相關于黎曼zeta函數ζ(s)的性態(tài)。黎曼假設斷言，方程ζ(s)=0的所有有意義的解都在一條直線上s = 1/2 + it 。其他平凡零點是 -2n。簡單來說，所有這些平凡和非平凡零點一定會排列成兩條直線，絕對不會有例外，這就是黎曼猜想。人們通過計算機去驗證黎曼猜想，挨個點去試，至今驗證過15萬億個點，都是對的。

上面講了數學的抽象性，數學家包括古代的先賢，為什么去研究素數，可能是去探索一些抽象數的內在規(guī)律性。我們后來卻發(fā)現這些規(guī)律性是有用的，如在電子商務中被廣泛使用的密碼學中經典的RSA算法其基本原理依賴于素數理論。RSA算法的安全性是因為素數分解的困難，所以素數是現代信息安全技術的基礎。密碼學廣泛應用在我們日常生活中，包括自動柜員機的芯片卡、電腦使用者存取密碼、電子商務等等，它使用了大量的數學工具。

數學的簡潔美即從復雜的現象中總結出非常簡潔的規(guī)律。愛因斯坦說過：“美在本質上終究是簡單性?！睔W拉公式：V-E+F=2 (V：頂點，E：邊，F：面) ，雖然無法說清楚有多少凸多面體，但它們總是滿足這一公式。我們可以用歐拉公式來證明只有五種正多面體：用正三角形做面的正四面體、正八面體、正二十面體、用正方形做面的正六面體、用正五邊形做面的正十二面體，這一結果的證明最早出現在歐幾里得的幾何原本中。

據說只存在5種正多面體是古希臘數學家泰阿泰德發(fā)現的，但它們被稱為“柏拉圖立體”?？梢姳皇谟韫猸h(huán)的也不一定是原本的發(fā)現者。柏拉圖的宇宙觀基本上是一種數學的宇宙觀。他設想宇宙開頭有兩種直角三角形，一種是正方形的一半，另一種是等邊三角形的一半。從這些三角形就合理地產生出四種正多面體，組成四種元素?；鹗钦拿骟w，氣是正八面體，水是正二十面體，土是立方體。第五種正多面體是由正五邊形形成的十二面體，這是組成天上物質的第五種元素，叫做以太。

城市中很多球形建筑上都有12個特殊的點，比如位于北京的中國科技館，這些球形建筑上的12個特殊點，每個點由5個三角形組成，這是多面體幾何性質約束的結果。

將正二十面體的每個側面切分為4個正三角形（如下圖（1）），側面被切割并被“吹鼓”的多面體，如此繼續(xù)切割并吹鼓，得到的多面體越來約接近球面（如下圖（2）），

還有足球也是由正二十面體出發(fā)截去頂點并稍加吹鼓起來的（如下圖（6））。

歐拉公式是拓撲學中的一個結果，拓撲學是研究幾何體在連續(xù)形變下不變性質的數學分支。在2維情形，歐拉數可用來做拓撲分類，即一個曲面可連續(xù)形變到另一個曲面當且僅當它們有相同的歐拉數。

龐加萊猜想（1904）是一個著名的拓撲問題，它給出了3維球面的拓撲刻畫。在一個世紀的漫長時光中一直困擾著全世界的數學家們，最終被Perelman用幾何中的曲率流方法解決。

歐拉數可推廣到高維“多面體”K，也稱復形， 即 這里F_k表示 k-維面的個數。如果空間K有復形結構，則我們可以定義歐拉數。我們已知任何光滑流形都有復形結構，故可以有歐拉數。

如何在更一般的空間上定義歐拉數？比如對有奇異的空間，即使空間是光滑的流形，證明其有復形結構也是相當復雜的。因此我們需要一個更拓撲、適用更廣的方法。奇異同調群給出了這樣一個方法：任何拓撲空間M都能定義奇異同調群，它是由單形到M的連續(xù)映射生成的。在一定的緊性條件下，k-維奇異同調群是維數為h_k的向量空間，且只有有限個h_k 非零。我們可定義歐拉數：, 所以在幾乎所有的空間上都可以定義歐拉數。

由此可知人類的認識是不斷進步的，數學家不斷地在發(fā)現歐拉數背后的規(guī)律，這也是一種數學文化。所以說數學家要不斷地多問一些為什么以及探索背后的原因，或者有沒有更好或者更廣的方式來解釋已有的某些現象，并在此基礎上再做進一步研究。

歐拉數現在仍有發(fā)展。計數幾何是代數幾何的一個重要分支，研究幾何方程的解的個數，有著悠久的歷史。受物理中場論研究的啟發(fā)， 90年代以來，計數幾何發(fā)生了翻天覆地的變化，其發(fā)展關鍵在于在一類無窮維空間上定義歐拉數。

現在提到的元宇宙，實際上就是一個虛擬的東西，希望用虛擬的東西來表現現實世界。而這些其實我們數學家早就在考慮的東西，包括歐拉數，起初是在多面體，很具體且很緊迫化，后來發(fā)現歐拉數實際不需要那么具體。

GW理論對應理論物理中的拓撲場論，它的數學理論是我和阮勇斌最先在半單辛空間上建立的。之后由我和李駿、Fukaya-Ono等利用虛擬?？臻g的方法推廣到一般辛空間。GW理論不僅推進了計數幾何的高度發(fā)展，而且與數學很多分支（如無窮維代數表示和可積系統(tǒng)）緊密相關，也為鏡對稱等重要問題提供了數學基礎。

元宇宙（Metaverse）是利用科技手段進行鏈接與創(chuàng)造的，與現實世界映射與交互的虛擬世界，具備新型社會體系的數字生活空間。在半單情形，我和阮勇斌用非齊次Cauchy-Riemann方程來構造相應歐拉數的。在一般情形，我和李駿引進了虛擬?？臻g方法來構造這一歐拉數。最近，徐光博和我利用我和李駿的方法建立了Gauged Linear \sigma-model的數學理論。

中國的建筑就很好地應用了數學的對稱美，有許多的園林建筑都應用了這一點。

用形狀、大小完全相同的幾種或幾十種平面圖形進行拼接，彼此之間不留空隙、不重疊地鋪成一片，這就是平面圖形的密鋪。這在我們生活中常見，尤其是建筑、裝修等。

任何三角形和凸四邊形（包括正方形，矩形）都可以密鋪整個平面。但除正三角形、正四邊形和正六邊形外，其他正多邊形都不可以密鋪平面。正五邊形不能密鋪，那么會不會有其它圖形可以密鋪？

對于不規(guī)則五邊形密鋪方式，引發(fā)了數學家們的興趣，在這個領域取得的進展都來自從事數學研究的數學家。但僅有高中學歷的家庭主婦瑪喬麗則顛覆了歷史，她連續(xù)發(fā)現了4類不規(guī)則五邊形密鋪方式！之后的第14、15類密鋪也都是科研工作者?，攩帖惪芍^前無古人后無來者！

瑪喬麗?萊斯是美國一位普通的家庭主婦，高中學歷，有5個孩子。因為給小兒子訂閱科普雜志便喜歡上閱讀雜志里的數學科普文章。1975年，瑪喬麗讀到關于平面密鋪的文章，對此極為感興趣，便開始了她一往無前的研究之旅。1976年，經過兩個月的思考和探索，瑪喬麗發(fā)現了一類新的能密鋪滿平面的五邊形，并用自創(chuàng)的一套符號來標記。令人驚訝的是，她的研究結果是正確的！最初幫助驗證瑪喬麗密鋪工作結果的是數學教授多麗絲?沙特施耐德，并在1995年受邀美國數學會的會議上介紹瑪喬麗的工作，而且美國數學會（AMS）總部裝修時，新地板采用了瑪喬麗發(fā)現的五邊形密鋪。

對于單一正多邊形的密鋪，只能采用正三角形、正方形、正六邊形這三種。但是如果采用多種不同的多邊形進行密鋪，那么就有新的可能。這一問題是華裔數學家王浩在1961年提出的。1976年，由英國數學家彭羅斯構造出了最為經典的采用兩種不同的菱形（36°/144°，72°/108°）的密鋪圖案。

羅杰?彭羅斯是2020年諾貝爾物理學獎獲得者之一，獲獎原因是在黑洞研究方面做出了杰出貢獻。彭羅斯在趣味數學中也有為大家所熟知的工作發(fā)現——彭羅斯密鋪（Penrose Tiling）。用兩種不同形狀但具有同樣邊長的菱形造出無數個非周期性密鋪。

上世紀80年代初，以色列化學家丹·謝赫特曼發(fā)現了一種新的固體材料，這種物質被命名為“準晶”，它的電子衍射圖樣跟彭羅斯密鋪相似。謝赫特曼當時并不知道彭羅斯密鋪，后來他才弄清了其中的數學理論。2011年，謝赫特曼因為此項工作獲得當年的諾貝爾化學獎。

1248年穆罕默德一世國王阿卜?阿拉罕爾開始將羅馬人的舊城堡擴建成規(guī)模宏大的宮殿群，然后由后世繼承者繼續(xù)修建至竣工。紅宮又名阿爾汗布拉宮，是現存最美麗的伊斯蘭建筑之一。阿拉伯人在建筑上常借以密鋪的方式闡釋生命循環(huán)往復和無限性的意象。目前存在的17種類型幾何密鋪，在紅宮都可以找到。

Maryna Viazovska（烏克蘭數學家）是2022年菲爾茲獎（Fields Medals）的四名獲獎者之一，她獲獎的工作成果其實與我們日常生活中經常見到的事物有關。

“橙子堆疊問題” （開普勒猜想）: 假設有個巨大的箱子以及數量眾多的橙子，我們如何排布球狀的橙子，才能讓橙子盡量多地裝到箱子里？（1）如果箱子很大，形狀的影響可以忽略不計，答案只取決于箱子的體積，球堆積問題就是找到這個最高比率，也稱為球堆積常數。（2）降低一個維度，從2維看最佳排布是蜂窩狀排布，任意平面上的每個橙子都與六個橙子相鄰，構成正六邊形。

1694年，牛頓與天文學家格雷戈里（David Gregory）討論體積不同的行星在天空中如何分布，隨后話題轉為：一個球能否與13個互不相交的球相切？牛頓認為不可能，而格雷戈里猜測可以，此問題也稱為十三球問題。這次討論記錄在格雷戈里的筆記本上并保存在牛津的一所教堂里。當時，歐洲人普遍信仰基督教，還有人把這次討論與耶穌的12位門徒聯系起來。

3維空間里不止一個最佳堆積，有很多比率相等的最佳堆積，其中一種即是之前提及的橙子堆積法（開普勒猜想）。盡管這一猜想看起來簡單，已有400多年歷史。項武義，Thomas Hales著有長篇論文試圖給出證明。Hales的論文2005年發(fā)表在Annals上，但其證明借助計算機，驗證步驟龐大復雜。

不借助計算機，只用幾頁紙，Maryna Viazovska給出了在 8 維和 24 維高維空間的球體堆積證明。高維空間的球體堆積在現代通訊技術中發(fā)揮著重要作用，能確保互聯網、衛(wèi)星等傳輸信息的過程中在遇到有干擾的情況下，也能理解傳輸過來的信息。

今天的報告就講到這里，謝謝大家！

（文中主要圖片來自于網絡，成稿也得到了一些數學界友人的意見建議，特此一并致謝?。?/span>