黃金分割比例在《幾何原本》中稱為中末比，其定義如下：把一條線段分成兩段，整段比長(zhǎng)段等于長(zhǎng)段比短段。歐幾里得用幾何作圖的方法將線段分劃為中末比。

第六章命題 30：將給定線段 (AB) 分成中末比。

歐幾里得在沒有無理數(shù)概念的前提下，利用了很多引理通過幾何的方法得到中末比。給定一條線段 AB，如何將給定線段 (AB) 分成中末比，歐幾里得的做法是：以 AB 為邊在上面畫一個(gè)正方形 ABHC，在 AB 上找一點(diǎn) E 使得以 AE 為邊長(zhǎng)的正方形與EB 為邊長(zhǎng)的四邊形 EBHF 面積相等。

如何用幾何畫圖的方法找到具備此性質(zhì)的 E ？歐幾里得需要用到書中的其他引理。中末比有很多神奇的性質(zhì)，在《幾何原本》里有大量命題是關(guān)于這個(gè)中末比，否則歐幾里得也不會(huì)特意定義這個(gè)比例。

第十三章命題 1：如果把一個(gè)線段分成中末比，則長(zhǎng)段加整段的一半之和為邊的正方形面積等于整段一半邊長(zhǎng)的正方形的 5 倍。

現(xiàn)在我們用中末比的精確值就能簡(jiǎn)單推出這一結(jié)果，但當(dāng)時(shí)歐幾里得是不知道中末比的具體數(shù)值的。

第十三章命題 8：一個(gè)等邊等角的正五邊形，用線段順次連接兩角，則連線交成中末比，且長(zhǎng)段等于五邊形的邊。

第十三章命題 9：同圓內(nèi)的內(nèi)接正六邊形的邊長(zhǎng)與內(nèi)接正十邊形的邊長(zhǎng)之比是中末比。

第十三章命題 17：求作已知球的內(nèi)接十二面體，證明這十二面體的邊是稱為余線的無理線段。

推論：當(dāng)立方體的一邊被分成中末比時(shí)，長(zhǎng)段是十二面體的邊長(zhǎng)。

用幾何作圖的方法能得到很多這種幾何圖形。上面這幾個(gè)《幾何原本》中的命題都跟中末比有關(guān)系。

16 世紀(jì)意大利著名數(shù)學(xué)家帕喬利的著作《神圣比例》就談到了中末比，這本書插畫的作者是達(dá) ? 芬奇。

有很多數(shù)學(xué)家非常推崇中末比。被很多人認(rèn)為是有史以來最偉大的數(shù)學(xué)家牛頓，提出的三大定律是基于開普勒的三大定律。所以，毫無疑問，開普勒也是一個(gè)偉大的科學(xué)家。開普勒對(duì)中末比是非常推崇的，他說：幾何學(xué)有兩大珍寶：一個(gè)是畢達(dá)哥拉斯定理（勾股定理），另外一個(gè)是中末比。前者可比金子，后者可稱寶玉。由此可見，中末比在幾何學(xué)中地位的重要性。

“黃金分割”這個(gè)名字并不是由開普勒提出來的，是一位名叫歐姆的數(shù)學(xué)家命名的，他非常推崇中末比，覺得這個(gè)比例太美好了，所以就給這個(gè)中末比取了一個(gè)美好的名字——黃金分割（goldener Schnitt），其中“黃金”是形容詞，指“像金子般的”，“分割”是名詞?！包S金分割”翻譯成中文應(yīng)該是“像金子般的比例（分割）”，之所以用“黃金”來命名，是因?yàn)樵跉W洲文藝復(fù)興時(shí)期，人們喜歡用“金子般的”來形容事物的美好。所以“黃金分割”的意思應(yīng)該是“很美好的比例”。

在國(guó)際上，黃金分割通常就是指中末比。 而在我們國(guó)家因歷史原因，更多的是將中末比的倒數(shù)稱為黃金分割，這和中末比差 1，也就是把中末比小數(shù)點(diǎn)前面的 1 去掉。

中末比：

（黃金分割）黃金分割比例：

關(guān)于中末比有很多有趣公式，首先是它本身加 1 再開方，仍然是它本身，繼續(xù)本身加 1 再開方還是它本身，可以一直遞推下去，即如下式子：

同理，也有如下形式的連分式：

1.古埃及胡夫大金字塔

2. 雅典帕特農(nóng)神廟

雅典的帕特農(nóng)神廟，它的寬約等于 31 米，高約等于 19 米，高和寬的比例基本上非常接近于黃金分割比例 19/31≈0.613，而且雅典帕特農(nóng)神廟存在大量黃金分割比例。由此可見，古希臘的建筑師一定是數(shù)學(xué)家。

3. 巴黎圣母院、印度泰姬陵、北京電視塔、上海東方明珠

法國(guó)巴黎著名建筑巴黎圣母院，它的第一層和第二層的比例，第二層和第三層的比例都滿足中末比。印度泰姬陵里的一些布局、北京電視塔（238/386.5≈0.616）、上海東方明珠（289.2/468≈0.618）都存在黃金分割比。

著名畫家達(dá)?芬奇也是一位數(shù)學(xué)家，《維特魯威人》的底稿中有很多線段都滿足黃金分割比。

名畫《蒙娜麗莎》存在大量的黃金分割比例；《最后的晚餐》這幅畫的布局、畫中建筑背景的分劃都用到了黃金分割比例

著名畫家米開朗基羅《創(chuàng)世紀(jì)》的布局同樣用到了黃金分割比例。

印象派畫家修拉的《安涅爾浴場(chǎng)》中整個(gè)畫面的布局、海岸線高度、人物位置的布局都遵循黃金分割比例。

號(hào)稱世界最美雕塑——維納斯，她從腳下到肚臍的高度跟整個(gè)雕塑的高度符合黃金分割比。同樣涉及黃金分割比的雕塑還有《大衛(wèi)》、《多里弗羅斯》和《宙斯》。

在音樂方面，貝多芬的第五交響曲，它的第一樂章按照主題部分和再現(xiàn)部分成兩部分，前面主題部分有 377 音節(jié)，后面再現(xiàn)部分有 233 音節(jié)，233/377≈0.618，所以貝多芬他在布局自己第一樂章的兩部分時(shí)完全是選擇了滿足黃金分割比例。

將莫扎特《第 1 鋼琴奏鳴曲》的第一樂章分成兩部分：前面主題部分和后面再現(xiàn)部分。前面主題部分是62 小節(jié)，后面再現(xiàn)部分是38 小節(jié)，這兩部分的比例為0.613，也是黃金分割比。

J. Ryden 在論文《Statistical Analysis of Golden-Ratio in Piano Sonatas by Mozart and Haydn》中對(duì)所有的奏鳴曲（莫扎特、海頓）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，并畫了一條 0.618 斜線，發(fā)現(xiàn)第一樂章主題部分跟再現(xiàn)部分音節(jié)比例基本上都落到這條直線附近，也就是基本上這兩段的比都接近于 0.618，可見，音樂家在寫樂章的時(shí)候，這種比例最舒服。

樂器上也存在黃金分割。著名小提琴 Lady Blunt (1721) 是 18 世紀(jì)小提琴制作大師Antonio Stradivari 制作。關(guān)于這把小提琴之所以命名為 Lady Blunt, 是因?yàn)?/span> Lady Blunt（她是拜倫孫女的女兒）曾收藏它達(dá) 30 年。該小提琴 2011 年拍賣成交價(jià)高達(dá)1000 萬英鎊。這把小提琴不僅音質(zhì)好，有趣的是它在形狀設(shè)計(jì)上，各個(gè)部分有很多是滿足黃金分割比例。

黃金分割在自然界也是大量存在的。奧黛麗 ? 赫本臉部各部分比例符合黃金分割比，由此可見，不僅達(dá)芬奇畫中的美人“蒙娜麗莎”存在黃金分割比，現(xiàn)實(shí)生活中大家公認(rèn)的美人“奧黛麗 ? 赫本”長(zhǎng)相也符合這個(gè)比例。

大自然中的螺和玫瑰長(zhǎng)相也符合黃金分割比例。

向日葵上的螺旋線順時(shí)針數(shù) 34 條，逆時(shí)針 55 條，34/55≈0.618。同一個(gè)松果上的螺旋線條，順時(shí)針數(shù) 8 條，反向再數(shù)就變成了 13 條，也接近黃金分割比，是不是很神奇？

黃金分割比例也存在于大自然中的樹枝分叉、樹葉，甚至蝴蝶、鸚鵡等很多地方長(zhǎng)得都符合黃金分割比。

在科學(xué)中，黃金分割也是廣泛存在的，對(duì)于當(dāng)前疫情下的核酸檢測(cè)，基本都是采用混合檢測(cè)。實(shí)際上對(duì)于混合檢測(cè)，上世紀(jì)美國(guó)征兵時(shí)對(duì)于血液的檢測(cè)就采用了混檢的方法。數(shù)學(xué)家可以證明：當(dāng)陰性樣本比例大于黃金分割（61.8%）時(shí)，混合檢測(cè)法要優(yōu)于逐一檢測(cè)法，可以節(jié)省人力和物力。

Lionel Penrose 和 Roger Penrose構(gòu)造的幾何鋪砌（如下圖）的邊長(zhǎng)實(shí)際上都滿足黃金分割比。

在物理學(xué)中的量子力學(xué)等相關(guān)學(xué)科里面，很多常數(shù)，甚至在一些黑洞理論的研究里實(shí)際上都與黃金分割有關(guān)。

在化學(xué)中，液晶的結(jié)構(gòu)滿足黃金分割比例。

在生物學(xué)中，DNA序列的螺旋結(jié)構(gòu)也符合黃金分割比例。

實(shí)際上，在很多科學(xué)領(lǐng)域里面常常出現(xiàn)黃金分割比例，與黃金分割比例密切相關(guān)的就是斐波那契數(shù)列。Fibonacci 在 1202 年出版的一本書《Liber Abaci》( 算書，1202）中介紹兔子繁衍的問題。

假設(shè)每對(duì)兔子在出生兩個(gè)月以后每月生一對(duì)兔子，從一對(duì)兔子開始，一年后共有多少對(duì)？

斐波那契數(shù)列：

有很多數(shù)學(xué)機(jī)構(gòu)喜歡在墻上畫上、印上或者雕刻上斐波那契數(shù)列，我放了兩張照片，第一張照片是北歐一座建筑的外墻，設(shè)計(jì)師用兩種顏色標(biāo)注了斐波那契數(shù)列，深顏色的代表已經(jīng)過去的斐波那契年，上一個(gè)斐波那契年是1597年，下一個(gè)斐波那契年是2584年。

斐波那契數(shù)列有很多有趣的公式：

斐波那契數(shù)列還和二項(xiàng)式展開系數(shù)有關(guān)系，二項(xiàng)式展開系數(shù)在我國(guó)通常稱為“楊輝三角”。二項(xiàng)式（a+b)ⁿ展開系數(shù)

斐波那契數(shù)列不僅有一些初等的性質(zhì)，還有一些比較高深的跟數(shù)論有關(guān)的如下性質(zhì)：

斐波那契數(shù)與黃金分割

斐波那契數(shù)與黃金分割的關(guān)系密切。相鄰的兩項(xiàng)斐波那契數(shù)之比的極限恰好是黃金分割。

生活中也可以看到大量黃金分割，如建筑、攝影、女孩子穿高跟鞋、韓裝的設(shè)計(jì)、芭蕾舞等。

斐波那契數(shù)列巧用

用斐波那契數(shù)列可以快速在英里和公里之間進(jìn)行換算：

巧記 0.618

6 月 18 日誕生的名人或你認(rèn)識(shí)的人。

中共六大 （1928.06.18, 莫斯科）

我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生著作《優(yōu)選法》第一章就介紹了黃金分割法和分?jǐn)?shù)法。上世紀(jì) 60 年代，華羅庚先生在全國(guó)大力推廣優(yōu)選法。

華羅庚先生講優(yōu)選法實(shí)際上就是如何找到一個(gè)單值函數(shù)的最大值點(diǎn)，其中一個(gè)做法就是先選兩個(gè)點(diǎn) 0.3、0.7，如果 0.7 這個(gè)點(diǎn)比較高的話，我們從邏輯上可以推出 0 到0.3 之間沒有最高的點(diǎn)（可以用反證法證明），即：

f(x) 連續(xù)、單峰（唯一最大值點(diǎn)）

就把 [0,1] 上的問題轉(zhuǎn)化成 [0.3, 1.0] 上的問題。

對(duì)一般區(qū)間 [a,b]，取 c < d ∈ [a,b]，比較 f(c) 與 f(d)，有

通過把包含解的區(qū)間不斷縮小，就可以得到任意精度的近似解。

這里存在 c, d 如何選取的問題。我們希望留下的區(qū)間盡可能短 （最壞情形下最好），即 max{b-c, d-a} 達(dá)到最小，于是有 c ≈ d = (a + b)/2，也就是兩點(diǎn)對(duì)分法。問題來了，通過重復(fù)利用，對(duì)分法，是不是計(jì)算函數(shù)值最少？

我們看一個(gè)例子，重復(fù)利用對(duì)分法（4 次函數(shù)計(jì)算）：

我們還可以采用 4 個(gè)點(diǎn)的另外一種取法：

顯然可以發(fā)現(xiàn)，反復(fù)利用對(duì)分不是最好的！

我們?cè)倏纯炊帱c(diǎn)綜合選取：

1）三個(gè)點(diǎn)：先取 c =1/3，d =2/3

         去掉一截之后，區(qū)間縮至 [0, 1/3, 2/3]

在 1/3 附近再加一點(diǎn)可將區(qū)間縮至 [0, 1/3]；

2）四個(gè)點(diǎn)：去掉一截后成三個(gè)點(diǎn)的情形

于是取 c =2/5，d =3/5。

如果允許計(jì)算 k 次函數(shù)值（斐波那契數(shù)列），c 、d 的最優(yōu)選取為：

最終區(qū)間長(zhǎng)度為原區(qū)間的,于是根據(jù)黃金分割法（0.618 法），取 c =1?Φ ≈ 0.382，d = Φ ≈ 0.618。

k 次函數(shù)值計(jì)算后，區(qū)間長(zhǎng)度為初始的:

可以證明：黃金分割是最優(yōu)的固定分劃方法！

黃金分割法給我們的啟示如下：美好的東西常常是有用的，有用的東西通常是優(yōu)美的，解決問題很重要，能用好的方法去解決問題更重要。謝謝大家！